Tensoralgebra

Zij V een vectorruimte over een (commutatief) lichaam K. De tensoralgebra over V is de K-vectorruimte gedefinieerd door de oneindige directe som van vectorruimten

${\displaystyle T(V)=\oplus _{n=0}^{\infty }\otimes ^{n}V}$

waar ${\displaystyle \otimes ^{n}V}$ het ${\displaystyle n}$-voudige tensorproduct van V met zichzelf is (in het bijzonder is ${\displaystyle \otimes ^{0}V}$ gelijk aan ${\displaystyle K}$ zelf, opgevat als K-vectorruimte). Op de tensoralgebra bestaat een unieke bilineaire afbeelding

${\displaystyle \otimes :T(V)\times T(V)\to T(V)}$

die associatief is en die voor gewone vectoren samenvalt met het bekende tensorproduct.

Deze definitie kan zonder meer worden veralgemeend tot de situatie waarbij K slechts een commutatieve ring is (meestal wordt het bestaan van een eenheidselement geëist), en V een K-moduul.

${\displaystyle T(V)}$ is een associatieve algebra. Hij is niet noodzakelijk commutatief. Als de ring K een eenheidselement heeft (dus zeker als K een lichaam is), dan heeft ${\displaystyle T(V)}$ een eenheidselement.

De uitwendige algebra over V is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van V met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van ${\displaystyle T(V)}$ over het (tweezijdige) ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm ${\displaystyle u\otimes v+v\otimes u}$.

De symmetrische algebra over V is de oneindige directe som van alle symmetrische tensorproducten van V met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van ${\displaystyle T(V)}$ over het ideaal dat wordt voortgebracht door elementen van de vorm ${\displaystyle u\otimes v-v\otimes u}$.