Samenhang

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een topologische ruimte samenhangend genoemd, als het niet mogelijk is de ruimte op te delen in twee disjuncte, niet-lege, open deelverzamelingen. Ook een deelruimte van een topologische ruimte kan samenhangend zijn, en wel als de deelruimte samenhangend is onder de geïnduceerde topologie.

In de gewone topologie van een deel van het vlak of van de driedimensionale ruimte betekent samenhang wat er gewoonlijk onder verstaan wordt, namelijk dat de verzameling één geheel is, niet in twee of meer delen te splisen waartussen "ruimte" zit.

Definitie

Een topologische ruimte $(X,{\mathcal {T}})$ heet samenhangend als er geen twee open, niet-lege, deelverzamelingen $A$ en $B$ zijn, waarvoor geldt dat $A\cup B=X$ en $A\cap B=\emptyset$ .

In deze definitie mag "open" ook vervangen worden door "gesloten". Een equivalente definitie luidt: Een topologische ruimte $(X,{\mathcal {T}})$ heet samenhangend als $X$ en de lege verzameling de enige clopen (zowel open als gesloten) deelverzamelingen zijn. Om te bepalen of een deelverzameling van $X$ open is, beperken we ons tot de deelruimtetopologie.

Voorbeelden

$\mathbb {R} ^{n}$ met de gewone metriek is samenhangend voor elke $n\in \mathbb {N}$ .
Elk interval in $\mathbb {R}$ $\text{[math]}$ met de gewone metriek is samenhangend. Op homeomorfie na zijn er vijf samenhangende deelruimten van $\mathbb {R}$ $\text{[math]}$ :
- de open intervallen, inclusief de open halfrechten en de hele $\mathbb {R}$ (er kan geen enkel punt verwijderd worden met behoud van de samenhang)
- de halfopen intervallen, inclusief de gesloten halfrechten (er is één punt dat verwijderd kan worden met behoud van de samenhang)
- de gesloten intervallen (er zijn twee punten die verwijderd kunnen worden met behoud van de samenhang)
- de singletons
- de lege verzameling
De deelverzameling $(0,1)\cup (2,3)$ van $\mathbb {R}$ met de gewone metriek is niet samenhangend. Kies bijvoorbeeld $A=(0,1)$ en $B=(2,3)$ . Duidelijk is dat $A$ en $B$ beide open en niet leeg zijn, en er geldt dat $A\cup B=X$ en $A\cap B=\emptyset$ .

Wegsamenhangendheid

Het is vrij lastig om aan te tonen of een verzameling samenhangend is of niet. Daarom wordt het begrip wegsamenhangendheid of padsamenhangendheid ingevoerd. Daarmee wordt een samenhang gedefinieerd die inhoudt dat elke twee punten in de topologische ruimte door een pad (of weg) verbonden zijn.

Eerst moet men definiëren wat onder een pad verstaan wordt.

Een functie $p:[0,1]\to X$ heet een pad tussen de punten $a$ en $b$ uit een topologische ruimte $(X,{\mathcal {T}})$ als $p$ continu is, $p(0)=a$ en $p(1)=b$ .

Een topologische ruimte $(X,{\mathcal {T}})$ heet dan wegsamenhangend of padsamenhangend als er voor elke twee punten $a,b\in X$ een pad bestaat.

Wegsamenhang en samenhang

Wegsamenhangendheid blijkt over het algemeen wat gemakkelijker aan te tonen dan samenhangendheid. De begrippen zijn echter niet equivalent. Wegsamenhangendheid blijkt wel samenhang te impliceren, maar omgekeerd hoeft samenhangendheid niet wegsamenhang te impliceren.

Een voorbeeld is de topologische sinuscurve,

\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}

,

die wel samenhangend is, maar niet wegsamenhangend.

De ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ is een eenvoudig voorbeeld van een ruimte die wegsamenhangend is.

Samenhang en wegsamenhang zijn continu-invariante eigenschappen. Dit houdt in dat het continue beeld van een verzameling met een continu-invariante eigenschap ook die eigenschap heeft.

Samenhangende deelverzamelingen

Uit de definitie volgt dat de lege verzameling, evenals alle singletons samenhangend zijn. Een topologische ruimte waarvan alle deelruimten, met uitzondering van de lege verzameling en de singletons, onsamenhangend zijn, heet totaal onsamenhangend.

Een discrete topologie is totaal onsamenhangend. Een ander voorbeeld vormen de rationale getallen met de gewone topologie.

Voorbeelden van wegsamenhang

In $\mathbb {R}$ met de gewone metriek is elke samenhangende deelruimte ook wegsamenhangend.
Voorbeelden in $\mathbb {R} ^{2}$ $\text{[math]}$ van topologisch verschillende wegsamenhangende deelruimten:
- Als in $\mathbb {R}$ , maar dan in plaats van een interval een niet-zelfdoorsnijdende kromme (naast het singleton en de lege verzameling weer drie topologisch verschillende varianten; de vijf zijn topologisch gelijk aan die in $\mathbb {R}$ ).
- Krommen met vertakkingen (veel topologisch verschillende varianten).
- Een cirkelschijf met rand, en alles wat daarmee homeomorf is, dus om te vormen met continu strekken, buigen, rekken en plooien, zonder inknippen of plakken.
- Idem zonder rand.
- Idem met gedeeltelijke, aaneengesloten rand.
- Een cirkelschijf met rand, met een er vanuitgaande niet-zelfdoorsnijdende kromme (topologisch verschillende varianten naargelang de kromme een eindpunt heeft).
- Twee cirkelschijven met rand, met een gemeenschappelijk punt.
- Twee cirkelschijven met rand, verbonden door een niet-zelfdoorsnijdende kromme.
- Een cirkelschijf met gaten (topologisch verschillende varianten qua buitenrand en aantal gaten, en als een cirkelschijf is uitgespaard: qua randen van het gat).
- Een cirkel (en topologisch gelijk: elke niet-zelfdoorsnijdende gesloten kromme).

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.