Normaalvector

Een normaalvector van een vlak is een vector, verschillend van de nulvector, die loodrecht staat op dat vlak. Een vlak kan beschreven worden met een lineaire combinatie in $x,y,z:ax+by+cz+d=0$ . Een normaalvector heeft als richtingsgetallen diezelfde $(a,b,c)$ . Evenwijdige vlakken hebben dezelfde normaalvectoren, de waarde voor $d$ bepaalt de afstand van deze vlakken tot de oorsprong.

Een normaalvector van een 3D-oppervlak in een punt is een normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.

Een normaalvector op een oppervlak in drie dimensies in een punt van dat oppervlak is een normaalvector van het raakvlak door dat punt aan het oppervlak door dat punt.

Het begrip normaalvector wordt ook gebruikt voor hypervlakken en hyperoppervlakken in ruimten met een hogere dimensie dan drie.

Gebruik

Normaalvectoren kunnen onder andere gebruikt worden:

om het vlak te beschrijven. Het aangrijpingspunt en de richting van de normaalvector definiëren het vlak.
om de hoek tussen twee vlakken te berekenen, of de hoek tussen een vlak en een lijn,
bij kring- en oppervlakte-integralen, bijvoorbeeld de wetten van Maxwell en
bij driedimensionale visualisaties.

Berekenen

Bij een vlak met vergelijking $ax+by+cz+d=0$ is de vector ${\vec {n}}=(a,b,c)$ een normaalvector.
De normaalvector wordt gebruikt om op het platte vlak de afstand van een punt tot een lijn of in de driedimensionale ruimte de afstand van een punt tot een vlak te berekenen.
Bij een driedimensionaal oppervlak dat beschreven wordt door een functie $f(x,y)$ staat de normaalvector ${\vec {n}}$ loodrecht op de de partiële afgeleiden van $f$ . Omdat bij twee loodrechte vectoren geldt dat het inwendig product gelijk aan 0 is, betekent dat in dit geval dat het inwendig product van de normaalvector ${\vec {n}}$ met de partiële afgeleiden gelijk is aan 0:

{\vec {n}}\cdot f_{x}'(x,y)=0

en

{\vec {n}}\cdot f_{y}'(x,y)=0

.

De normaalvector in zo'n oppervlak kan berekend worden door het kruisproduct van de twee partieel afgeleiden te nemen:

{\vec {n}}=f_{x}'(x,y)\times f_{y}'(x,y)

.

Indien het oppervlak impliciet wordt gedefinieerd $F(x,y,z)=0$ , dan is de normaalvector in een punt $(x_{0},y_{0},z_{0})$ van het oppervlak de gradiënt in dat punt: $\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})$
Een normaalvector heeft een bijbehorende genormeerde normaalvector (ook eenheidsnormaalvector genoemd) in dezelfde richting, maar met lengte 1. Voor een normaalvector met componenten $a,b$ en $c$ wordt de bijbehorende eenheidsnormaalvector verkregen door te delen door de lengte ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ van de vector. Een vlak heeft twee eenheidsnormaalvectoren, die elkaars tegengestelde zijn. Een genormeerde normaalvector heeft niet drie maar twee onafhankelijke parameters. Als er twee bekend zijn kan de andere parameter uitgerekend worden.

Bestaan

Uiteraard bestaat niet noodzakelijk overal een normaalvector, een kegel bijvoorbeeld heeft in zijn top geen normaalvector.

Websites

Wikibooks. Vectormeetkunde.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.