Distantie en similariteit

Een binaire variabele is een variabele die slechts twee, elkaar uitsluitende waarden kan aannemen, zoals Ja / Nee, of 0 / 1. Bij vergelijking van objecten met binaire variabelen kunnen de formules vereenvoudigd worden, afhankelijk van het al of niet meerekenen van de "dubbel-negatieve" overeenkomsten.

Onder dubbel negatieven verstaat men de situatie dat beide binaire variabelen de waarde —, Afwezig, Nee of 0 hebben. In sommige gevallen hebben deze geen zinvolle betekenis. Een voorbeeld is een ecologische gegevenstabel met abundanties van aangetroffen soorten. Het ontbreken van soorten is twee te vergelijken objecten (bijvoorbeeld tellingen, monsters, vegetatieopnamen) geeft geen zinvolle informatie.

Voorbeelden van similariteiten zijn correlaties en cosinus. Correlatiecoëfficiënten nemen waarden aan van -1 tot +1, waarbij bij de hoogste waarde staat voor de hoogste mate van overeenkomst (similariteit) en de kleinste distantie (dissimilariteit). Om als distantiemaat te kunnen fungeren moeten ze dus getransformeerd worden.

afko	naam	formule	waarin:	range
r	Pearsons product-moment correlatiecoëfficiënt   (ALGEMENE FORMULE)	${\displaystyle r_{ij}={\frac {m\cdot \sum _{k=1}^{m}y_{ik}\cdot y_{jk}-\sum _{k=1}^{m}y_{ik}\cdot \sum _{k=1}^{m}y_{jk}}{{\sqrt {m\cdot \sum _{k=1}^{m}y_{ik}^{2}-(\sum _{k=1}^{m}y_{ik})^{2}}}\cdot {\sqrt {m\cdot \sum _{k=1}^{m}y_{jk}^{2}-(\sum _{k=1}^{m}y_{jk})^{2}}}}}}$	rik = correlatie yik = waarde voor object i en variabele k yjk = waarde voor object j en variabele k m = aantal variabelen	[-1,+1]
rS	Spearmans rangcorrelatiecoëfficiënt	${\displaystyle \rho _{ij}=1-{\frac {6\cdot \sum _{k=1}^{m}(y_{ik}-y_{jk})^{2}}{m\cdot (m^{2}-1)}}}$	yik en yjk zijn rangnummers binnen de variabelen Yi en Yj	[-1,+1]
phi, φ	puntcorrelatie, associatiecoëfficiënt	${\displaystyle \varphi _{ij}={\frac {BC-AD}{\sqrt {(A+B)(A+C)(B+C)(C+D)}}}}$	yik en yjk zijn presenties: 0 of 1	[-1,+1]
Cos	cosinus van de hoek α tussen de vectoren door de oorsprong	${\displaystyle Cos_{ij}={\frac {\sum _{k=1}^{m}(y_{ik}\cdot y_{jk})}{\sqrt {\sum _{k=1}^{m}(y_{ik})\cdot \sum _{k=1}^{m}(y_{jk})}}}}$ voor binaire variabelen wordt de formule: ${\displaystyle Cos_{ij}={\frac {c}{\sqrt {a\cdot b}}}}$	rik = correlatie yik = waarde voor object i en variabele k yjk = waarde voor object j en variabele k m = aantal variabelen	[-1,+1]

Een andere correlatiecoëfficiënt is de punt-biseriële correlatiecoëfficiënt, evenals de puntcorrelatie een variant van de Pearsons product-momentcorrelatiecoëfficiënt.

Overige maten voor similariteit, zoals de coëfficiënten van Jaccard, Sörensen, Whittaker en Motyka worden besproken bij de distanties.

Voorbeelden van distanties

afkorting	naam coëfficiënt	formule	waarin:	range
MD	Minkowski distance,  geïnduceerd door de Lr-norm   (ALGEMENE FORMULE)	${\displaystyle d_{ij}=(\sum _{k=1}^{m}{\mid y_{ik}-y_{jk}\mid }^{r})^{\frac {1}{r}}}$	dij = distantie tussen objecten i en j yik = waarde voor object i en variabele k yjk = waarde voor object j en variabele k m = aantal variabelen r is een constante
CBD	City Block Distance, Manhattan-metriek	${\displaystyle {CBD}_{ij}=\sum _{k=1}^{m}{\mid y_{ik}-y_{jk}\mid }}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, ∞)
ED	Euclidische afstand Euclidische afstand	${\displaystyle {ED}_{ij}=(\sum _{k=1}^{m}{{(y_{ik}-y_{jk})}^{2})}^{\frac {1}{2}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, ∞)
MCD	Mean Character Distance	${\displaystyle {MCD}_{ij}={\frac {1}{m}}\cdot \sum _{k=1}^{m}{\mid y_{ik}-y_{jk}\mid }}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, ∞)
GE	Gemiddelde euclidische afstand, euclidische vorm van MCD	${\displaystyle {GE}_{ij}=({\frac {1}{m}}\cdot \sum _{k=1}^{m}{{(y_{ik}-y_{jk})}^{2})}^{\frac {1}{2}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, ∞)
DM	Distance Metric   (ALGEMENE FORMULE)	${\displaystyle DM_{ij}=\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {{\mid y_{ik}-y_{jk}\mid }^{r}}{(y_{ik}+y_{jk})^{r}}}\right)^{\frac {1}{r}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, 1]
CM	Canberra Metric	${\displaystyle CM_{ij}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {\mid y_{ik}-y_{jk}\mid }{(y_{ik}+y_{jk})}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, ∞)
HM	Hodson's Metric, euclidische vorm van CM	${\displaystyle HM_{ij}=\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {{(y_{ik}-y_{jk})}^{2}}{(y_{ik}+y_{jk})^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, ∞)
CD	Coefficient of Divergence	${\displaystyle CD_{ij}=\left({\frac {1}{m}}\cdot \sum _{k=1}^{m}{\frac {{(y_{ik}-y_{jk})}^{2}}{(y_{ik}+y_{jk})^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, 1]
M	Motyka distantie naar Motyka, distantie naar Czekanowsky, Percentage Dissimilarity kwantitatieve vorm van S	${\displaystyle M_{ij}={\frac {\sum _{k=1}^{m}{y_{ik}}+\sum _{k=1}^{m}{y_{jk}}-2\cdot \sum _{k=1}^{m}{\min(y_{ik},y_{jk})}}{\sum _{k=1}^{m}{y_{ik}}+\sum _{k=1}^{m}{y_{jk}}}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, 1]
W	Whittaker distantie naar Whittaker, kwantitatieve vorm van J	${\displaystyle W_{ij}={\frac {\sum _{k=1}^{m}{y_{ik}}+\sum _{k=1}^{m}{y_{jk}}-2\cdot \sum _{k=1}^{m}{\min(y_{ik},y_{jk})}}{\sum _{k=1}^{m}{y_{ik}}+\sum _{k=1}^{m}{y_{jk}}-\sum _{k=1}^{m}{\min(y_{ik},y_{jk})}}}}$	yik en yjk zijn numerieke waarden	[0, 1]
H	Heterogeniteit	${\displaystyle H_{ij}=\sum _{k=1}^{m}{\mid y_{ik}-y_{jk}\mid }}$ ${\displaystyle H_{ij}=a+b-2c}$	yik en yjk zijn numerieke waarden a, b en c: zie hierbovenstaande tabel	[0, ∞)
J	Jaccard distantie naar Jaccard	${\displaystyle J_{ij}={\frac {a+b-2c}{a+b-c}}}$	a, b en c: zie hierbovenstaande tabel	[0, 1]
S	Sørensen distantie naar Sørensen, distantie naar Dice, 1-Coefficient of Community	${\displaystyle S_{ij}={\frac {a+b-2c}{a+b}}}$	a, b en c: zie hierbovenstaande tabel	[0, 1]
SM'	Simple Matching Coefficient complement van Simple Matching Coefficient	${\displaystyle {SM'}_{ij}={\frac {A+D}{A+B+C+D}}}$	A, B, C en D: zie hierbovenstaande tabel	[0, 1]
YC	Yule-Coefficient	${\displaystyle YC_{ij}={\frac {AD-BC}{AD+BC}}}$	A, B, C en D: zie hierbovenstaande tabel	[-1, 1]

Een distantiematrix is een vierkante, symmetrische matrix met voor elk paar van objecten de onderlinge distanties. Een dergelijke matrix is symmetrisch, omdat de distantie tussen objecten a en b gelijk is aan de distanties tussen de objecten b en a. Op de diagonaal staan de distanties van de objecten tot zichzelf: 0.

Distantiematrices worden onder andere gebruikt bij ordinatietechnieken op basis van een distantiematrix[1] , zoals polaire ordinatie (PO), principal coordinates analysis (PCoA of "metric multidimensional scaling") en nonmetric multidimensional scaling (NMDS).

Een matrix met similariteiten in plaats van distanties wordt ook wel "Resemblance Matrix" genoemd.