Vloeistofmechanica

Als uitgegaan wordt van behoud van impuls is de algemene vorm van de Navier-Stokesvergelijking:

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=\nabla \cdot \mathbb {P} +\rho \mathbf {F} }$

waarin:

• ${\displaystyle \rho }$ de dichtheid van de stof is;

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$ is de Lagrange afgeleide (ook wel de totale of materiële afgeleide);

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is de snelheid (een vectorgrootheid);
• ${\displaystyle F}$ is de kracht op een lichaam in de stof (ook een vectorgrootheid); en
• ${\displaystyle \mathbb {P} }$ is een weergave van de mechanische spanningen die op een deeltje werken, de zogenaamde meebewegende spanningstensor (een tensorgrootheid).

Tenzij de vorticiteit van de beweging in de stof per plek verschillend is, is ${\displaystyle \mathbb {P} }$ een symmetrische tensor, en heeft in drie dimensies de volgende vorm:

${\displaystyle \mathbb {P} ={\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{yy}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}}$

waarin:

• ${\displaystyle \sigma }$ de normaalspanningen zijn; en
• ${\displaystyle \tau }$ de schuifspanningen.

De tensor geeft een set van drie vergelijkingen, voor elke dimensie één. Op zichzelf kan hiermee geen oplossing gevonden worden, maar als behoud van massa en de randvoorwaardes van het model worden toegevoegd, volgt een oplosbare set vergelijkingen.

De viscositeit is voor elke stof een constante die de relatie tussen schuifspanning en de snelheidsgradiënt beschrijft. Het gedrag van een Newtoniaanse vloeistof kan beschreven worden met:

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {dv}{dx}}}$

waarbij:

${\displaystyle \tau }$ de schuifspanning in de stof is (veroorzaakt door de "vloeiweerstand" tegen schuif);

${\displaystyle \mu }$ de viscositeit van de stof is - een constante;

${\displaystyle {\frac {dv}{dx}}}$ de gradiënt van de stroomsnelheid loodrecht op de schuifrichting is.

Bij een Newtoniaanse vloeistof hangt de viscositeit per definitie alleen af van temperatuur en druk, niet van de krachten die op de stof werken. Als de stof niet samengedrukt kan worden en de viscositeit door de stof heen gelijk blijft, kan de schuifspanning in een Cartesisch coördinatenstelsel worden beschreven als:

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

waarbij:

${\displaystyle \tau _{ij}}$ de schuifspanning is op het ${\displaystyle i^{de}}$ vlak van een deeltje, werkend in de ${\displaystyle j^{de}}$ richting;

${\displaystyle v_{i}}$ de snelheid in de ${\displaystyle i^{de}}$ richting is;

${\displaystyle x_{j}}$ is de coördinaat in de ${\displaystyle j^{de}}$ richting

Als een stof niet aan deze relatie voldoet, is het per definitie een niet-Newtoniaanse vloeistof.