Vermenigvuldigen

• Vermenigvuldigen is commutatief; dat wil zeggen dat de rol van vermenigvuldiger en vermenigvuldigtal omgewisseld kunnen worden, zonder dat het product (de uitkomst) verandert. (Dit geldt niet voor vermenigvuldigen van matrices).
• Vermenigvuldigen is associatief; dat wil zeggen dat bij meer dan twee factoren de volgorde waarin de factoren met elkaar vermenigvuldigd worden, het product (de uitkomst) niet verandert.
• Als een getal vermenigvuldigd wordt met het getal 1 (een), is het resultaat het getal zelf. Het getal een is het neutrale element voor de vermenigvuldiging.
• Als een getal vermenigvuldigd wordt met het getal 0 (nul), is het product gelijk aan 0 (nul).
• Het product van een getal ${\displaystyle a}$, ongelijk aan 0, en zijn omgekeerde ${\displaystyle 1/a}$ is 1 (een).
• Wanneer er een oneven aantal negatieve factoren zijn, is het product negatief. Bij een even aantal negatieve factoren is het product positief.

Vermenigvuldigen wordt onderwezen op de basisschool. Daarbij zijn drie belangrijke stappen.

De eerste stap laat met kleine getallen zien dat vermenigvuldigen voortkomt uit herhaald optellen. Daarbij worden eenvoudige voorbeelden gebruikt, zoals: drie kinderen hebben elk twee handen; samen hebben ze zes handen. Dus: ${\displaystyle 3\times 2=6.}$ Uiteindelijk mondt dit uit in het uit het hoofd leren van de tafels van vermenigvuldiging.

In de tweede stap wordt dit gecombineerd met tientallen, honderdtallen, enzovoort. Voor het uitrekenen van 30 × 70 wordt dan eerst berekend: 3 × 7 = 21, en dus: 30 × 70 = 2100. Dit is onder andere in te zien door het ordenen van getallen in rijtjes. Een voorraad van 60 auto's kan worden geordend in 6 rijtjes van 10. Als er 4 van zulke voorraden zijn, resulteren 4 × 6 = 24 rijtjes van elk 10 auto's. Dus: 240 auto's, en uiteindelijk: 4 × 60 = 240. Hier wordt de associativiteit van vermenigvuldigen gebruikt: ${\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}$, oftewel: 4 × (6 × 10) = (4 × 6) × 10.

De derde stap is het in delen vermenigvuldigen van getallen. De vermenigvuldiging 5 × 24 wordt berekend als volgt: 5 × 24 = 5 × (20 + 4) = 5 × 20 + 5 × 4 = 100 + 20 = 120. Hier wordt de distributiviteit van de vermenigvuldiging gebruikt: ${\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)}$.

               21        11        11
     4321      4321      4321      4321      4321
      567       567       567       567       567
     ————      ————      ————      ————      ———— ×
              30247     30247     30247     30247
                       259260    259260    259260
                                2160500   2160500
                                          ——————— +
                                          2450007

     19287
       213
     ————— ×
     57861
    192870
   3857400
   ——————— +
   4108131

     1 9 2 8 7
         2,1 3
     ————————— ×
     5 7 8 6 1
   1 9 2 8 7 0
 3 8 5 7 4 0 0
 ————————————— +
 4 1 0 8 1,3 1

     1 9,2 8 7
         2,1 3
     ————————— ×
     5 7 8 6 1
   1 9 2 8 7 0
 3 8 5 7 4 0 0
 ————————————— +
 4 1,0 8 1 3 1

Een andere manier van uitvoeren van een vermenigvuldiging is de 'kruislingse vermenigvuldiging', waardoor de som van meerdere producten, zoals die zichtbaar zijn bij notering in de traditionele berekening, kan worden teruggebracht tot één product zodat alleen de twee factoren en het product genoteerd worden. In het gegeven voorbeeld van 24 × 18 ontstaat het product 432 door de volgende som: 8 × 4 + 8 × 20+ 10 × 4 + 10 × 20. In grotere berekeningen zullen de vele nullen leiden tot vergissingen, vooral als het product door middel van hoofdrekenen gevonden moet worden.

Ter illustratie van de alternatieve methode dient het volgende voorbeeld, nu zonder gebruik van nullen:

            8 1 2 5 3
         ×  2 3 6 7 4

                                 4*3 = 12; onthoud 1, noteer 2 (van rechts naar links)
                       1 + 4*5 + 7*3 = 42; onthoud 4, noteer 2
                 4 + 4*2 + 7*5 + 6*3 = 65; onthoud 6, noteer 5
           6 + 4*1 + 7*2 + 6*5 + 3*3 = 63; onthoud 6, noteer 3
     6 + 4*8 + 7*1 + 6*2 + 3*5 + 2*3 = 78; onthoud 7, noteer 8
     7 + 7*8 + 6*1 + 3*2 + 2*5       = 85; onthoud 8, noteer 5
     8 + 6*8 + 3*1 + 2*2             = 63; onthoud 6, noteer 3
     6 + 3*8 + 2*1                   = 32; onthoud 3, noteer 2
     3 + 2*8                         = 19;            noteer 19

Het product van deze opgave is dan: 1923583522. Voor kenners van de tafels van 100 is de berekening nog sneller uit te voeren, namelijk:

        74*53 = 3922; onthoud 39, noteer 22.
   39 + 74*12 + 36*53 = 2835; onthoud 28, noteer 35.
   28 + 74*8  + 36*12 + 2*53 = 1158, onthoud 11, noteer 58.
   11 + 36*8  +  2*12 = 323; onthoud 3, noteer 23.
    3 +  2*8 = 19, noteer 19.

Het gebruik van een kruisje (Andreaskruis) als maalteken, bijvoorbeeld ${\displaystyle 3\times 2=6,}$ is afkomstig van William Oughtred en wordt voor het eerst aangetroffen in Thomas Harriots Artis analyticae praxis, postuum gepubliceerd in 1631.[1] Dit symbool wordt aangeleerd in onder meer Vlaamse en Nederlandse basisscholen.

René Descartes gebruikte een punt als maalteken.[1] De hoger geplaatste punt (bijvoorbeeld ${\displaystyle 3\cdot 2=6}$) is nog steeds de meest gebruikelijke notatie in 'hogere' publicaties in Europa, maar ook op basisniveau in Duitsland.

In de meeste programmeertalen wordt een sterretje gebruikt (bijvoorbeeld ${\displaystyle 3*2=6}$). Dit om verwarring te voorkomen met de letter x en met de Angelsaksische notatie, waarin een punt gebruikt wordt om de decimalen aan te geven. Als men geen cijfers direct naast elkaar zet, wordt in veel gevallen zelfs helemaal geen teken gebruikt, bijvoorbeeld:

${\displaystyle ab=a\times b}$

${\displaystyle 3a=3\times a}$

${\displaystyle (a+1)(b-1)=(a+1)\times (b-1)}$

Een product van nul of meer factoren schrijft men soms verkort met een vermenigvuldigingsteken, de hoofdletter pi uit het Griekse alfabet.

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot a_{m+2}\cdot \dots \cdot a_{n-1}\cdot a_{n}}$.

Hierbij zijn ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ gehele getallen met ${\displaystyle n\geq m-1}$. Als ${\displaystyle n=m-1}$ zijn er nul factoren. Het product is dan 1. Als ${\displaystyle n=m}$ is er één factor. Het product is dan het getal zelf.

Zo kan men bijvoorbeeld ${\displaystyle n}$ faculteit noteren als

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot (n-1)\cdot n=\prod _{i=1}^{n}i}$

Het daadwerkelijk uitvoeren van vermenigvuldigingen, zonder de hulp van een rekenmachine, is vooral voor grotere getallen een moeizame bezigheid. Al gauw zijn daarom rekenmachines bedacht, aanvankelijk mechanische en later elektrische en elektronische. Een in het verleden veel gebruikte methode was gebaseerd op de eigenschap van logaritmen. Om het product ${\displaystyle a\cdot b}$ van de twee getallen ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ uit te rekenen, ging men als volgt tewerk, gebruikmakend van de relatie:

${\displaystyle \log(a\cdot b)=\log(a)+\log(b)}$.

Met behulp van een logaritmetafel werden de logaritmen van ${\displaystyle a}$ en van ${\displaystyle b}$ bepaald, waarna deze werden opgeteld. Door terugzoeken in de logaritmetafel werd dan het product gevonden:

${\displaystyle a\cdot b=10^{\log(a)+\log(b)}}$.

Op deze manier was het moeizame vermenigvuldigen gereduceerd tot optellen.

Ook de rekenliniaal en de rekenschijf berusten op deze methode.

De inverse bewerking van vermenigvuldigen is delen.

• Rekenen
• Tafels van vermenigvuldiging

Zie de categorie Vermenigvuldigen van Wikimedia Commons voor mediabestanden over dit onderwerp.