Inwendige (topologie)

In de topologie, een deelgebied van de wiskunde, bestaat het inwendige van een verzameling $S$ uit alle punten van $S,$ die intuïtief "niet op de rand" van $S$ liggen. Een punt dat in het inwendige van $S$ ligt noemt men een inwendig punt van $S.$

Het punt

x

is een inwendig punt van

S,

aangezien dit punt, samen met de open bal om het punt heen, is vervat in

S.

Het punt

y

ligt op de rand van

S

.

Tegenover het inwendige van een verzameling staat het uitwendige, of de buitenkant van een verzameling, dat is het inwendige van het complement van deze verzameling; het bestaat uit de punten die geen deel uitmaken van de verzameling en ook niet op de rand liggen.

Het inwendige van een verzameling is een topologisch begrip, dat niet voor alle verzamelingen gedefinieerd is, maar wel voor verzamelingen die een deelverzameling van een topologische ruimte zijn. Het begrip 'inwendige' is in veel opzichten duaal aan het begrip, sluiting.

Definitie

Het inwendige van een verzameling $S$ is de verzameling van alle inwendige punten van $S.$ Het inwendige van $S$ wordt aangegeven door $\mathrm {int} (S),\ \mathrm {Int} (S)$ of $S^{\circ }.$ Het inwendige van een verzameling heeft de volgende eigenschappen.

$\mathrm {int} (S)$ is een open deelverzameling van $S.$
$\mathrm {int} (S)$ is de vereniging van alle open verzamelingen, die vervat zijn in $S.$
$\mathrm {int} (S)$ is de grootste open verzameling, die vervat is in $S$
Een verzameling $S$ is open dan en slechts dan als $S=\mathrm {int} (S).$
$\mathrm {int} (\mathrm {int} (S))=\mathrm {int} (S)$ (idempotentie).
Als $S$ een deelverzameling is van $T,$ dan is $\mathrm {int} (S)$ een deelverzameling van $\mathrm {int} (T).$
Een open verzameling $A$ is dan en slechts dan een deelverzameling van $S,$ als $A$ een deelverzameling is van $\mathrm {int} (S).$

Soms wordt de tweede of derde eigenschap hierboven genomen als de 'definitie' van de topologische inwendige.

Merk op dat ook aan deze eigenschappen wordt voldaan, als de begrippen 'inwendige', 'deelverzameling', 'vereniging', 'vervat in', 'grootste' en 'open' respectievelijk worden vervangen door 'afsluiting', 'superset', 'doorsnede', 'die bevat', 'kleinste' en 'gesloten'.

Oorspronkelijk

Zij $(X,T)$ een topologische ruimte. Het inwendige van een deelverzameling $D$ van $X$ is de grootste open verzameling van $X$ die in $D$ vervat zit.

Vaak wordt het inwendige van een verzameling genoteerd door een cirkeltje boven de uitdrukking van de verzameling: $D^{\circ }$

Het inwendige van een deelverzameling $D$ van een topologische ruimte $(X,T)$ bestaat altijd en kan uitgedrukt worden als de vereniging van alle open delen van $X$ die in $D$ vervat zitten:

D^{\circ }=\bigcup _{F\in T,F\subset D}F

Er is immers minstens een zo'n verzameling $F$ (met name $\emptyset$ ), en de vereniging van een willekeurige familie open verzamelingen is ook open.

Eigenschappen

Het inwendige van de lege verzameling is gelijk aan de lege verzameling.
Voor elke verzameling $X$ is $\mathrm {int} (X)$ vervat in $X.$

Voorbeelden

In de reële getallen $\mathbb {R}$ is $\mathrm {int} ([0,1])=(0,1).$
In de euclidische ruimte $\mathbb {R}$ is het inwendige van de verzameling $\mathbb {Q}$ van de rationele getallen leeg.
Als $X$ het complexe vlak $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ is, dan geldt $\mathrm {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.$
In enige euclidische ruimte is het inwendige van een eindige verzameling gelijk aan de lege verzameling.

Eigenschappen

Het inwendige is een open verzameling.

Elke open verzameling is haar eigen inwendige.

Het complement van het inwendige is de afsluiting van het complement

X-D^{\circ }={\overline {X-D}}

Zie ook

Uitwendige (topologie)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.