Binomiaalcoëfficiënt

Als alternatieve notatie voor de binomiaalcoëfficënt ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ komen voor: ${\displaystyle C(n,k),\ _{n}\!C_{k},\ ^{n}\!C_{k},C_{k}^{n},C_{n}^{k}}$ en ${\displaystyle C_{n,k}}$, waarin de ${\displaystyle C}$ staat voor de Engelse woorden 'combination' of 'choice'. Op sommige zakrekenmachines staat eenvoudigweg nCk of nCr.

Hoeveel kleurencombinaties zijn er mogelijk bij een keuze van drie kleuren uit de zeven kleuren van de regenboog? De volgorde van de kleuren is niet van belang. Dat zijn er

${\displaystyle {7 \choose 3}={\frac {7!}{3!4!}}=35}$

Hoe komt men tot de waarde van deze coëfficiënt? Voor de eerste kleurkeuze zijn er 7 mogelijkheden, voor de tweede nog 6, en voor de derde nog 5. In totaal dus ${\displaystyle 7\times 6\times 5=7!/4!}$ mogelijkheden.

Maar daarbij is rekening gehouden met de volgorde van de kleuren: eerst kan rood en dan geel gekozen zijn, maar ook eerst geel en dan rood. Om van deze volgorde af te zien, moet nog gedeeld worden door het aantal volgordes van de drie kleuren; dat is

${\displaystyle 1\times 2\times 3=3!}$

Er zijn ${\displaystyle n(n-1)\ldots (n-k+1)=n!/(n-k)!}$ mogelijkheden om ${\displaystyle k}$ objecten op volgorde uit ${\displaystyle n}$ verschillende te kiezen zonder terugleggen. Van elk gekozen ${\displaystyle k}$-tal zijn er ${\displaystyle k!}$ mogelijke volgordes. De binomiaalcoëfficiënt is dus ${\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$.

De benaming binomiaalcoëfficiënt verwijst naar de uitwerking van een macht van een tweeterm (binoom=tweeterm), zie binomium van Newton. Blaise Pascal raakte geïnteresseerd in dergelijke uitwerkingen in zijn correspondentie met Pierre de Fermat in 1654.[1]

Het combinatorische karakter van de binomiaalcoëfficiënten leidt tot de volgende eigenschap:

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$,

die zich gemakkelijk laat begrijpen door van de ${\displaystyle n}$ objecten er 1 apart te leggen en uit de overige ${\displaystyle n-1}$ er nog ${\displaystyle k-1}$ en deze aan te vullen met het ene apart gelegde object, of alle ${\displaystyle k}$ uit de ${\displaystyle n-1}$ overige te kiezen.

De bovenstaande recursieve formule laat zich fraai weergeven in de zgn. driehoek van Pascal (zie aldaar).

Voor een priemgetal ${\displaystyle p}$ is de binomiaalcoëfficiënt ${\displaystyle {\tbinom {p}{k}}}$ voor alle ${\displaystyle 0<k<p}$ een veelvoud van ${\displaystyle p}$. In de driehoek van Pascal staan op een rij met een priemgetal op de tweede plaats alleen maar veelvouden van dat getal, behalve natuurlijk de 1 aan begin en eind.

Dit is eenvoudig in te zien, aangezien

${\displaystyle {\binom {p}{k}}={\frac {p(p-1)\ldots (p-k+1)}{k(k-1)\ldots 1}}}$,

voor alle ${\displaystyle 0<k<p}$, een natuurlijk getal is en de teller wel een priemfactor ${\displaystyle p}$ heeft, maar de noemer niet.

Als omgekeerd voor een natuurlijke ${\displaystyle n}$ de binomiaalcoëfficiënt ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ voor alle ${\displaystyle 0<k<n}$ een veelvoud van ${\displaystyle n}$ is, is ${\displaystyle n}$ een priemgetal.

Bewijs

Via een bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel namelijk dat ${\displaystyle n}$ samengesteld is. Noem ${\displaystyle p}$ de kleinste priemfactor van ${\displaystyle n}$, en ${\displaystyle k=n/p}$. Dan is ${\displaystyle 0<p<n}$ en is

${\displaystyle {\binom {n}{p}}={\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-p+1)}{p!}}={\frac {k(n-1)(n-2)\ldots (n-p+1)}{(p-1)!}}}$,

geen veelvoud van ${\displaystyle n}$, waarmee een tegenspraak is geconstrueerd.

Immers, als ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}}$ wel een veelvoud van ${\displaystyle n}$ zou zijn, dan zou de teller ${\displaystyle k(n-1)(n-2)\ldots (n-p+1)}$ deelbaar zijn door ${\displaystyle n=kp}$. Dit kan alleen het geval zijn als het product ${\displaystyle (n-1)(n-2)\ldots (n-p+1)}$ deelbaar is door ${\displaystyle p}$. Maar ${\displaystyle p}$ is een priemgetal en is een deler van ${\displaystyle n}$; hieruit volgt dat het niet een deler is van een van de factoren uit het product ${\displaystyle (n-1)(n-2)\ldots (n-p+1)}$. En dus is ${\displaystyle p}$ ook niet een factor van het product zelf.

De binomiaalcoëfficiënten vinden toepassing in onder andere het binomium van Newton en in de kansrekening bij de binomiale verdeling. In het eenvoudige geval van de polynoom ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ is de binomiaalcoëfficënt ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ de coëfficiënt van de ${\displaystyle k}$-de macht van ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}$

• Berekening van de binomiaalcoëfficiënt