Rij van Mercator

De rij werd ontdekt door Nikolaus Mercator, Isaac Newton en Gregorius van St-Vincent, elk onafhankelijk van elkaar. Het werd voor het eerst gepubliceerd door Mercator in 1668 in het traktaat Logarithmo-technica.

De rij kan worden afgeleid door de natuurlijke logaritme herhaaldelijk te differentiëren, startend van

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln x={\frac {1}{x}}}$

Een alternatief kan zijn door te starten met de meetkundige rij (${\displaystyle t\neq -1}$):

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

wat de volgende uitdrukking geeft:

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}}$

en waaruit volgt:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\ldots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\,\mathrm {d} t}$

Door integratie verkrijgen we:

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\,\mathrm {d} t}$

Als ${\displaystyle -1<x\leq 1}$, neigt de overblijvende term naar 0 als ${\displaystyle n\to \infty .}$