Mercatorprojectie

De mercatorprojectie heeft de bijzondere eigenschap dat kompaskoersen getrouw worden weergegeven (men noemt dit wel richtinggetrouw[1]). Dit is van groot belang voor de scheepvaart, omdat dus een lijn van constante kompaskoers (loxodroom) op de kaart een rechte lijn is. Hoewel de projectie daarom veelvuldig is toegepast, zeker in het verleden, en in de scheepvaart nog steeds, wordt zij tegenwoordig voor meer algemene wereldkaarten in atlassen en dergelijke minder geschikt geacht. Geen enkele projectie kan de Aarde weergeven op een plat vlak zonder vervormingen te vertonen. Bij de mercatorprojectie treden oppervlaktevervormingen op, waarbij gebieden groter worden weergegeven naarmate ze verder van de evenaar liggen; op de polen zelf treedt zelfs een oneindige vergroting op. Deze projectie geeft Groenland ongeveer even groot weer als het continent Afrika, terwijl het in werkelijkheid zo'n 17 maal kleiner is, dat wil zeggen: zo groot als het Arabisch schiereiland. Hier werd tijdens de Koude Oorlog door politici dankbaar gebruik van gemaakt: de Sovjet-Unie leek door zijn noordelijke ligging nog groter en leek op deze manier een grotere bedreiging voor Europa. Een ander nadeel is dat de kortste route tussen twee punten, de orthodroom, geen rechte lijn is bij deze kaartprojectie. De kortste route van Amsterdam naar San Francisco lijkt op een mercatorprojectie over Engeland, de Atlantische Oceaan en de continentale VS te lopen. In werkelijkheid vliegen vliegtuigen over Schotland, IJsland, Groenland en Canada.

Op hogere breedte wordt de projectie van de breedtegraden steeds groter, de zogenaamde vergrotende breedte. Om hoekgetrouwheid of conformiteit te bereiken, is de projectie echter niet rechtstreeks.

De mercatorprojectie is een cilinderprojectie, dat wil zeggen dat de afbeelding tot stand komt door de bol te projecteren op een cilinder die de bol precies omsluit. Het is echter geen rechtstreekse projectie. Om hoekgetrouwheid te bereiken, wordt een breedte-afhankelijke schaalcorrectie toegepast, de vergrotende breedte. Op de evenaar is de afstand van een lengtegraad vrijwel gelijk aan een breedtegraad, aangezien beide grootcirkels zijn. Aangezien de parallellen kleincirkels zijn, wordt op hogere breedte de afstand van een lengtegraad echter steeds kleiner, om uiteindelijk op de polen nul te worden. Bij de mercatorprojectie houden de lengtegraden echter een gelijke lengte, zodat de breedtegraden vergroot moeten worden om de onderlinge verhouding tussen de afstand van een lengtegraad en een breedtegraad kloppend te houden. Hierdoor rekt de kaart richting de polen steeds meer op. Na 'uitrollen' van de cilinder ontstaat een vlakke kaart.

De projectie wordt beschreven door:

${\displaystyle x\ =r\,\lambda }$

${\displaystyle y\ =r\,\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

Waarbij λ de lengtegraad is en φ de breedtegraad.

De formules zijn afkomstig van Edward Wright, niet van Mercator zelf.

Variaties op de mercatorprojectie worden verkregen door twee andere tegenover elkaar liggende punten te kiezen voor de oneindige kaartuiteinden, zoals bij de transversale mercatorprojectie. Verder is er de Universele Transversale Mercatorprojectie (UTM), die in feite een combinatie is van een aantal transversale mercatorprojecties.

Indicatrix van Tissot van de mercatorprojectie. Bij deze projectie is de schaal niet afhankelijk van de richting, wat tot uiting komt in de cirkelvorm van de ellipsen. De schaal is wel afhankelijk van de breedte, wat tot uiting komt in het groter worden van de cirkels op hogere breedte. In afwijking van de theorie van Tissot zijn de cirkels niet infinitesimaal klein vanwege de zichtbaarheid.

Bij mercatorkaarten wordt de breedtegraad gegeven waarvoor de schaal geldt, aangezien deze groter wordt met toenemende breedte; de vergrotende breedte. De schaal op de evenaar s₀ verhoudt zich tot de schaal op breedtegraad b s_b volgens de schaalformule:

${\displaystyle s_{b}={s_{0} \over \cos b}}$

Vanwege deze veranderende schaal moeten 'verheden', zoals afstanden in het jargon heten, op een mercatorkaart worden afgepast op de middelbreedte — de gemiddelde breedtegraad van een traject — met staande randminuten, de meridiaanminuten die de zijrand van de kaart vormen.

De mercatorprojectie wordt veelvuldig gebruikt om interactieve kaarten (door middel van "tiles", een matrix van mini-afbeeldingen) op internet te tonen in een browser. Google Maps gebruikte het tot 2018, TomTom gebruikt het, net als haar concurrenten OpenStreetMap en Here (voorheen NAVTEQ). Ook voor vaarkaarten wordt het gebruikt. Bij deze toepassingen is de vervorming van minder belang, omdat de meeste navigatietoepassingen richting de polen minder gebruikt worden, en er wordt ingezoomd, waardoor het vervormingseffect nagenoeg nihil is.