Gnomonische projectie

Een kaart op basis van de gnomonische projectie geeft een deel van een half boloppervlak weer (bij een oneindige kaart een half boloppervlak, zonder de rand). Het centrale punt van de projectie wordt vaak in het midden van de kaart weergegeven. In de buurt van dit centrale punt is er weinig vertekening. Gelijke afstanden van het centrale punt op de kaart corresponderen met gelijke afstanden op Aarde, met andere woorden, een cirkel op de kaart met het centrale punt als middelpunt is een kleine cirkel op Aarde met het centrale punt op Aarde als middelpunt. Naar buiten wordt de schaal echter steeds groter.

Deze kaarten hebben als voordeel dat van grootcirkels op de bol (waaronder alle meridianen en de evenaar) het deel dat op de kaart staat een rechte lijn op de kaart vormt, zodat de kortste route (geodetische lijn) tussen twee punten op de bol tevens de kortste route tussen twee punten op de kaart is. Dit maakt zulke kaarten geschikt voor toepassing in de scheep- en luchtvaart (grootcirkelnavigatie).

Nadelen van de projectie zijn dat zoals gezegd slechts de halve bol kan worden afgebeeld, en dat de vervormingen ver van het centrale punt enorm zijn.

Dat de projectie niet hoekgetrouw is is als volgt in te zien. Neem als projectievlak een vlak dat aan de Aarde raakt op een punt dat niet op de evenaar ligt en niet op een pool. Op de kaart zijn de meridianen rechte lijnen die elkaar snijden in een pool, en is de evenaar ook een rechte lijn. Op de kaart kunnen de meridianen daarom niet allemaal loodrecht staan op de evenaar, wat ze op de bol wel doen. (Zie ook de meridianen en parallellen in de afbeelding waarop Schiphol centraal staat.)

Gegeven de geografische breedte ${\displaystyle \beta \,}$ en lengte ${\displaystyle \lambda \,}$ en het midden van de kaart (breedte ${\displaystyle \beta _{0}\,}$ en lengte ${\displaystyle \lambda _{0}}$) dan wordt de projectie gegeven door:

${\displaystyle x\,={\frac {\cos \beta \ \sin(\lambda -\lambda _{0})}{\cos \gamma }}}$

${\displaystyle y\,={\frac {\cos \beta _{0}\ \sin \beta \ -\sin \beta _{0}\ \cos \beta \ \cos(\lambda -\lambda _{0})}{\cos \gamma }}}$

met

${\displaystyle \cos \gamma \,=\sin \beta _{0}\ \sin \beta +\cos \beta _{0}\ \cos \beta \ \cos(\lambda -\lambda _{0})}$

Als ${\displaystyle \cos \gamma }$ negatief is, ligt het af te beelden punt op een ander halfrond dan het midden van de kaart.

In het polaire aspect (projectievlak op de Noordpool) valt dit te vereenvoudigen tot:

${\displaystyle x\,=\sin \lambda \ \cot \beta }$

${\displaystyle y\,=-\cos \lambda \ \cot \beta }$

Hier moet ${\displaystyle \beta }$ groter zijn dan nul (het Zuidelijk halfrond inclusief de evenaar kan niet worden afgebeeld).

• Lijnperspectief

Andere azimutale projecties:

• Stereografische projectie

Toepassing van de gnomonische projectie:

• Polyederprojectie