Azimutale projectie

Een azimutale projectie is een kaartprojectie (een afbeelding van een boloppervlak (hieronder Aarde, maar algemener toepasbaar) of een deel daarvan naar een plat vlak) met een centraal punt met de bijzondere eigenschap dat de afbeelding dezelfde eigenschappen heeft in alle richtingen vanuit dit punt (de naam komt van azimut). Meer formeel: als de bol gedraaid wordt om een as door dit punt, de afbeelding wordt toegepast en het resultaat over dezelfde hoek wordt teruggedraaid krijgt men hetzelfde als wanneer de afbeelding rechtstreeks wordt toegepast.

Grootcirkels door het centrum vormen rechten met getrouwe weergave van de onderlinge hoeken. Gelijke afstanden van het centrum op de kaart corresponderen met gelijke afstanden op Aarde, met andere woorden, een cirkel op de kaart met het centrum als middelpunt is een kleine cirkel of grootcirkel op Aarde met als middelpunt een punt in de Aarde recht onder het centrum.

Met:

• r de afstand op de kaart tot het centrum
• R de straal van de Aarde
• α de middelpuntshoek in radialen die staat op de boog van een punt op Aarde met het centrum, dus de afstand op Aarde, gedeeld door R
• s de schaal[1] in het centrum

wordt de projectie bij een gegeven centrum gegeven door r als functie van α. Belangrijke voorbeelden:

• Gnomonische projectie (alle grootcirkels zijn rechte lijnen), ${\displaystyle r\,=Rs\tan \alpha }$      ${\displaystyle (\alpha <{\frac {\pi }{2}})}$
• Stereografische azimutale projectie (hoekgetrouw), ${\displaystyle r\,=2Rs\tan {\frac {\alpha }{2}}}$      ${\displaystyle (\alpha <\pi )}$
• Orthografische azimutale projectie (zoals de Aarde er van een grote afstand uitziet), ${\displaystyle r\,=Rs\sin \alpha }$      ${\displaystyle (\alpha \leq {\frac {\pi }{2}})}$
• Perspectiefprojectie - meetkundige projectie op een plat vlak (loodrecht op de lijn naar het centrum) vanuit een hoogte h boven het aardoppervlak, ${\displaystyle r\,={\frac {hRs\sin \alpha }{R+h-R\cos \alpha }}}$      ${\displaystyle (\alpha \leq \arccos {\frac {R}{R+h}})}$; met h = −R, −2R en oneindig geeft dit (behoudens deels de begrenzing van α) de drie bovenstaande gevallen.
• Equidistante azimutale projectie (afstandsgetrouw voor afstanden tot het centrum), ${\displaystyle r=Rs\alpha }$
• Azimutale projectie van Lambert (oppervlaktegetrouw), ${\displaystyle r=2Rs\sin {\frac {\alpha }{2}}}$

Als de noordpool als centrum wordt genomen wordt gesproken van een normale of polaire azimutale projectie. Bij een geografische breedte β in radialen is ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-\beta }$.

Met het centrum op de evenaar is sprake van een transversale of equatoriale azimutale projectie. Andere raakpunten geven scheve azimutale projecties.

De afstandsgetrouwe en oppervlaktegetrouwe projecties zijn geen 'echte' (meetkundige) projecties, de overige wel.

De radiale schaal is ${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {dr}{d\alpha }}}$ en de transversale schaal ${\displaystyle {\frac {r}{R\sin \alpha }}}$. Bij de stereografische azimutale projectie zijn beide overal aan elkaar gelijk, namelijk:

${\displaystyle {\frac {s}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

In de buurt van het midden (α = 0) is er tussen de betreffende resultaten grote overeenkomst, er geldt bij benadering steeds r = Rsα.