Oppervlaktegetrouwe kegelprojectie

Als φ₁ en φ₂ de standaardparallellen zijn, dan geldt voor een kegelprojectie met de kegelpunt naar het noorden, met

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})}$

dat deze n het aantal graden is waaronder een lengtegraad wordt afgebeeld; de hele kaart beslaat dus een sector van 360 n graden.

Deze n moet positief zijn, het midden tussen de standaardparallellen moet dus op het noordelijk halfrond liggen (voor het limietgeval waarbij n nul wordt zie onder).

Stel R is de straal van de Aarde, en oppervlaktes zijn op de kaart ${\displaystyle s^{2}}$ maal zo groot als op Aarde, dan is de straal op de kaart van de parallel op breedtegraad φ:

${\displaystyle \rho ={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}-(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})\sin \phi }}}$

dus voor de standaardparallellen geldt ${\displaystyle \rho ={\frac {Rs}{n}}\cos \phi _{1}}$ en ${\displaystyle \rho ={\frac {Rs}{n}}\cos \phi _{2}}$

Verder volgt hieruit de straal op de kaart van de cirkelboog die de noordpool representeert:

${\displaystyle \rho ={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}-(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})}}={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {(1-\sin \phi _{1})(1-\sin \phi _{2})}}}$

Alleen als minstens een van de standaardparallellen de noordpool is wordt de noordpool dus gerepresenteerd door een enkel punt. Als beide standaardparallellen de noordpool zijn betreft dit de azimutale projectie van Lambert. Er geldt dan n = 1.

De straal op de kaart van de cirkelboog die de zuidpool representeert is:

${\displaystyle \rho ={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})}}={\frac {Rs}{n}}{\sqrt {(1+\sin \phi _{1})(1+\sin \phi _{2})}}}$

Het verschil van de beide stralen (de breedte van de ringsector voor de hele kaart) is:

${\displaystyle \Delta \rho ={\frac {4Rs}{{\sqrt {(1+\sin \phi _{1})(1+\sin \phi _{2})}}+{\sqrt {(1-\sin \phi _{1})(1-\sin \phi _{2})}}}}}$

Bij samenvallende standaardparallellen is dit 2Rs.

Als ${\displaystyle \phi _{1}\geq 0}$ en ${\displaystyle \phi _{2}}$ nadert van boven naar ${\displaystyle -\phi _{1}}$ dan naderen de binnen- en buitenstraal naar oneindig, en wordt de kaart rechthoekig met hoogte ${\displaystyle {\frac {2Rs}{\cos \phi _{1}}}}$ en breedte ${\displaystyle 2\pi Rs\cos \phi _{1}}$, de oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie met standaardparallellen ${\displaystyle \phi _{1}}$ en ${\displaystyle -\phi _{1}}$.

De schaal[2] in oostwestrichting is as en de noordzuidschaal s/a met

${\displaystyle a={\frac {\sqrt {1+\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}-(\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2})\sin \phi }}{\cos \phi }}}$

Variant op kegelprojectie:

• Polyconische projectie

Andere oppervlaktegetrouwe projecties:

• Oppervlaktegetrouwe azimutale projectie (azimutale projectie van Lambert)
• Oppervlaktegetrouwe cilinderprojectie
• Mollweide-projectie
• Projectie van Aitoff-Hammer
• Projectie van Bonne
• Projectie van Gall-Peters
• projectie van Goode

• http://mathworld.wolfram.com/AlbersEqual-AreaConicProjection.html