Permutatiegroep

In de groepentheorie, een onderdeel van de wiskunde, is een permutatiegroep een groep $G$ , waarvan de elementen permutaties zijn van een gegeven verzameling $M$ . De groepsbewerking in een permutatiegroep is de samenstelling van de permutaties.

De groep van alle permutaties van een verzameling $M$ heet de symmetrische groep van $M$ . Deze kan worden geschreven als $\mathrm {Sym} (M)$ .

Voor de bestudering van de permutatiegroepen van een eindige verzameling $M$ met $n$ elementen kan voor $M$ de verzameling $\{1,2,\ldots ,n\}$ genomen worden, of de $n$ hoekpunten van een figuur in het platte vlak of van een ruimtelijke figuur.

Als het alleen gaat om de groepsstructuur dan is bij een eindige verzameling alleen het aantal elementen van belang. In dat geval (of als de verzameling uit de context duidelijk is) wordt de symmetrische groep van $n$ elementen aangeduid met $S_{n}$ . Omdat iedere permutatiegroep de $n$ elementen van een verzameling $M$ permuteert, is iedere permutatiegroep te zien als een ondergroep van de symmetrische groep $S_{n}$ .

De theorie van de permutatiegroepen kent toepassingen in de studie van symmetrieën, de combinatoriek en vele andere takken van de wiskunde, de natuurkunde en de scheikunde.

De eigenschappen van een permutatiegroep

Net als andere groepen moet een permutatiegroep voldoen aan de groepsaxioma's: de permutatie die de identiteit is, moet element van de groep zijn, van iedere permutatie moet de inverse permutatie element zijn en de permutatiegroep moet gesloten zijn onder de samenstelling van zijn elementen.

Voorbeelden

Permutaties worden veelal in cyclische vorm geschreven (als product van disjuncte cykels). Voor de verzameling $M=\{1,2,3,4\}$ wordt de permutatie $g$ met $g(1)=2,\ g(2)=4,\ g(4)=1$ en $g(3)=3$ geschreven als $(1\ 2\ 4)(3)$ , of ook als $(1\ 2\ 4)$ , aangezien 3 ongewijzigd blijft.

Van de verzameling $M=\{1,2,3,4\}$ zijn de volgende permutaties gegeven:

$e=(1)(2)(3)(4)=()$ , de triviale permutatie (identieke afbeelding) die elk element op zijn eigen plaats laat.
$a=(1\ 2)(3)(4)=(1\ 2)$ die alleen de elementen 1 en 2 verwisselt.
$b=(1)(2)(3\ 4)=(3\ 4)$ die alleen de elementen 3 en 4 verwisselt.
$ab=(1\ 2)(3\ 4)$ , de samenstelling van de twee voorgaande permutaties, die zowel 1 en 2 als 3 en 4 verwisselt.

De Rubiks kubus is een model van een permutatiegroep. Iedere rotatie van een van de vlakken van de kubus is een element in de permutatiegroep van de Rubiks kubus, zij vormen de genererende verzameling van de permutatiegroep van de Rubiks kubus. Niet alle denkbare kubusposities kunnen door de toegestane rotaties van de kubus worden bereikt.

Volgens de stelling van Cayley is iedere groep isomorf met een permutatiegroep.

Isomorfie

Als $G$ en $H$ twee permutatiegroepen op dezelfde verzameling $M$ zijn, zegt men dat $G$ en $H$ als permutatiegroepen isomorf zijn als er een bijectie of permutatie $f:M\to M$ bestaat, zodanig dat $g\mapsto h_{g}=f^{-1}\circ g\circ f$ een bijectie is tussen $G$ en $H.$ Dat houdt in dat bij ieder element $g\in G$ een unieke $h_{g}\in H$ bestaat waarvoor $(g\circ f)(x)=(f\circ h_{g})(x)$ voor alle $x\in M.$ Dit betekent hetzelfde als dat $G$ en $H$ elkaars geconjugeerden zijn als deelgroepen van $\mathrm {Sym} (M)$ . In dit geval zijn $G$ en $H$ ook isomorf als groepen.

Referenties

(en) John D. Dixon en Brian Mortimer, Permutation Groups. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1996.
(en) Peter Cameron, Permutation Groups. LMS Student Text 45. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.