Ring van de gehele getallen
In de algebraïsche getaltheorie is de ring van de gehele getallen de verzameling van gehele getallen, die tot een algebraïsche structuur Z, uitgerust met de operaties van optelling, aftrekken en vermenigvuldiging, is gemaakt. De ring van de gehele getallen is een commutatieve ring.
Meer in het algemeen is de ring van gehele getallen van een algebraïsch getallenlichaam K, vaak aangeduid met OK of met , de ring van algebraïsche gehele getallen in K.
Door gebruik te maken van deze notatie, kunnen we Z = OQ schrijven, dit aangezien Z, zoals hierboven, de ring van gehele getallen van het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) Q van de rationale getallen is. En inderdaad worden in de algebraïsche getaltheorie de elementen van Z daarom vaak de rationale gehele getallen genoemd.
De ring van gehele getallen OK is een Z-moduul. Minder duidelijk is het dat het een vrij Z-moduul is en dus een basis heeft, waarmee wij bedoelen dat er een b1 ,..., bn O ∈ K bestaat, de basis, zodanig dat ieder element x in OK op unieke wijze kan worden weergegeven
met ai ∈ Z. De rang n van OK als een vrije Z-moduul is gelijk aan de graad van K over Q.
Ringen van gehele getallen in getallenlichamen zijn Dedekind-domeinen.
Voorbeelden
Indien ζ een p-de eenheidswortel en K = Q(ζ) het corresponderende cyclotomisch veld is, dan wordt een basis van OK = Z[ζ] gegeven door (1, ζ, ζ 2, ..., ; ζp−2).
Als d een kwadraatvrij geheel getal en K = Q(d1/2) het corresponderende kwadratisch veld is, dan wordt een basis van OK gegeven door (1, (1 + d1/2)/2) als d ≡ 1 (mod 4) en door (1, d1/2) als d ≡ 2 of 3 (mod 4).
De ring van p-adische getallen Zp is de ring van gehele getallen van een p-adisch getal Qp.