Geheel getal van Eisenstein

De gehele getallen van Eisenstein vormen een commutatieve ring van algebraïsche gehele getallen in het algebraïsche getallenlichaam ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$. Om in te zien dat de gehele getallen van Eisenstein algebraïsche gehele getallen zijn, dient te worden opgemerkt dat ${\displaystyle z=a+b\omega }$ een wortel is van de monische veelterm

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2})}$

Tevens is vast te stellen dat ${\displaystyle \omega }$ voldoet aan de vergelijking

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0}$

De norm ${\displaystyle N}$ van een geheel getal van Eisenstein is het kwadraat van de absolute waarde, en wordt dus gegeven door

${\displaystyle N(a+b\omega )=|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}}$,

immers:

${\displaystyle |a+b\,\omega |^{2}=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\omega {\bar {\omega }}=a^{2}-ab+b^{2}}$

De norm van een geheel getal van Eisenstein is een geheel getal.

De eenhedengroep in de ring van gehele getallen van Eisenstein is de cyclische groep die wordt voortgebracht door de zesde eenheidswortel in het complexe vlak. De groep bestaat uit de elementen ${\displaystyle \pm 1,\ \pm \omega ,\ \pm \omega ^{2}}$. Het betreft juist de gehele getallen van Eisenstein met norm 1.

De ring van de gehele getallen van Eisenstein is een euclidisch domein met als norm ${\displaystyle N}$.

• (en) MathWorld. Eisenstein Integer.