Cirkelprobleem van Gauss

Beschouw een cirkel in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ met centrum in de oorsprong en straal ${\displaystyle r}$. Het cirkelprobleem van Gauss vraagt hoeveel punten ${\displaystyle N(r)}$ er binnen deze cirkel van de vorm ${\displaystyle (m,n)}$ liggen,met ${\displaystyle m}$ en ${\displaystyle n}$ beide gehele getallen. Aangezien de vergelijking van deze cirkel in Cartesiaanse coördinaten wordt gegeven door

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$,

is de vraag equivalent met de vraag hoeveel paren gehele getallen ${\displaystyle (m,n)}$ er zijn waarvoor

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}}$

Voor bijvoorbeeld ${\displaystyle r=2}$ liggen de 13 paren ${\displaystyle (0,0),(\pm 1,0),(\pm 1,\pm 1),(0,\pm 1),(\pm 2,0),(0,\pm 2)}$ binnen de cirkel.

Voor ${\displaystyle r=0,1,2,\ldots ,10}$ zijn de gevraagde aantallen ${\displaystyle N(r)}$

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317[1].

Het is gemakkelijk in te zien dat ${\displaystyle N(r)\approx \pi r^{2}}$, namelijk ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de cirkel. De oppervlakte is immers het aantal eenheidsvierkantjes, en elk vierkantje bevat in doorsnee één roosterpunt.

De waarde van ${\displaystyle N(r)}$ kan gegeven worden door verschillende reeksen. Met behulp van de entier kan geschreven worden:[2]

${\displaystyle N(r)=1+4\sum _{k=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+3}}\right\rfloor \right)}$

Een veel eenvoudiger formule maakt gebruik van het aantal manieren ${\displaystyle r_{2}(n)}$ om ${\displaystyle n}$ te schrijven als de som van twee kwadraten. Dan is:[3]

${\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)}$

• (en) Cirkelprobleem van Gauss op MathWorld