Kubische reciprociteit

De wet van de kubische reciprociteit wordt op meest natuurlijke wijze uitgedrukt in termen van de gehele getallen van Eisenstein, dat is in de ring ${\displaystyle E}$ van complexe getallen van de vorm

${\displaystyle z=a+b\,\omega }$

waar zowel ${\displaystyle a}$ als ${\displaystyle b}$ gehele getallen zijn en

${\displaystyle \omega ={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

een complexe eenheidswortel is.

Als ${\displaystyle \pi }$ een priemgetal element van ${\displaystyle E}$ van veldnorm ${\displaystyle p}$ en ${\displaystyle \alpha }$ een element copriem tot ${\displaystyle \pi }$ is, dan definiëren we het kubische residue symbool ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}}$ als de kubus eenheidswortel (macht van ${\displaystyle \omega }$) die voldoet aan

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\ \equiv \ \alpha ^{(P-1)/3}\mod \pi }$

Verder definiëren we een primair priemgetal als zijnde congruent met -1 modulo 3, nog steeds in de ring ${\displaystyle E}$; aangezien een willekeurig priemgetal nog steeds een priemgetal is, wanneer dit getal wordt vermenigvuldigd met een eenheid van de ring ${\displaystyle E}$, een zesde eenheidswortel, dit is geen ingrijpende beperking. Voor verschillende primaire priemgetallen ${\displaystyle \pi }$ en ${\displaystyle \theta }$ zegt de wet van de kwadratische reciprociteit simpelweg

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}}$

met de aanvullende wetten voor de eenheden en voor het het priemgetal ${\displaystyle 1-\omega }$ van norm 3 dat als

${\displaystyle \pi =-1+3(m+n\omega )}$

dan

${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}}$

${\displaystyle \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}.}$

Aangezien geldt dat

${\displaystyle \left({\frac {\theta \phi }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}\left({\frac {\phi }{\pi }}\right)_{3}}$

kan het kubische residue van elk willekeurig getal worden gevonden wanneer het maar eenmaal is gefactoriseerd in priemgetallen en eenheden.

De definitie van primair is hier een traditionele, die teruggaat naar de oorspronkelijke artikelen van Ferdinand Eisenstein. De aanwezigheid van het minteken is niet gemakkelijk compatibel te maken met de moderne definities, bijvoorbeeld bij de bespreking van de conductor van een Hecke karakter. Maar indien zo gewenst, is het eenvoudig om het minteken naar elders te verplaatsen, aangezien −1 een derdegraadsvergelijking is, in feite de derdegraadsvergelijking van −1.

• Kwadratische reciprociteit
• Artin reciprociteit

• David A. Cox, Primes of the form ${\displaystyle x^{2}+ny^{2}}$ (Priemgetallen van de vorm , Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
• K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory (Een klassieke introductie tot de moderne getaltheorie), 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein (Reciprociteitswetten: van Euler tot Einstein), Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.