Exponentiële groei

De term exponentiële groei wordt soms verkeerd gebruikt als alleen een snelle groei bedoeld wordt.

Als ${\displaystyle x}$ een grootheid is die exponentieel groeit in de tijd ${\displaystyle t,}$ geldt per definitie dat de groeisnelheid ${\displaystyle \mathrm {d} x/\mathrm {d} t}$ evenredig is met de momentane waarde, dus voldoet aan de differentiaalvergelijking:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=kx}$

Hierin is ${\displaystyle k}$ de evenredigheidsconstante die altijd positief is. Als ${\displaystyle k<0}$ is, wordt gesproken van exponentiële afname, zoals bij de demping van trillingen en bij radioactief verval.

De oplossing van de differentiaalvergelijking is de exponentiële functie

${\displaystyle x(t)=x_{0}\,e^{kt}}$,

waarin de constante ${\displaystyle x_{0}}$ wordt bepaald door de oorspronkelijk omvang van de populatie.

Op de lange termijn zal een exponentiële groei elke vorm van lineaire groei overschrijden. Dit is ook de basis van de theorie van de overbevolking van het Malthusianisme. Een exponentiële groei zal zelfs sneller gaan dan elke groei volgens een polynoom. Er bestaan ook groeimodellen die op de lange termijn langzamer zijn dan de exponentiële groei, maar sneller dan de lineaire groei. Ook zijn er groeiscenario’s denkbaar die sneller zijn dan de exponentiële.

In wiskundige termen geldt voor elke waarde van ${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{x^{\alpha } \over Ce^{x}}=0}$

De vergelijking voor exponentiële groei kan ook geschreven worden als:

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot g^{t}}$

met groeifactor ${\displaystyle g=e^{k}.}$

Als ${\displaystyle g>1}$ (positieve ${\displaystyle k}$) is er sprake van exponentiële groei; als ${\displaystyle 0<g<1}$ (negatieve ${\displaystyle k}$) is er sprake van exponentiële afname (verval).

De groeifactor hangt nauw samen met het groeipercentage: ${\displaystyle g=1+{\frac {p}{100}}.}$ Bij exponentiële groei neemt ${\displaystyle x}$ met ${\displaystyle p\%}$ per tijdseenheid toe. Bij exponentiële afname neemt ${\displaystyle x}$ met ${\displaystyle p\%}$ per tijdseenheid af, of anders gezegd, neem ${\displaystyle x}$ met${\displaystyle -p\%}$ per tijdseenheid toe.

De bovenstaande evenredigheidsfactor ${\displaystyle k}$ is de relatieve groeifactor, oftewel de relatieve groeisnelheid. Deze is immers het quotiënt van de momentane snelheid waarmee ${\displaystyle x}$ groeit en de momentane waarde van ${\displaystyle x:}$

${\displaystyle k={\frac {x'(t)}{x(t)}}.}$

Verwarrend is dat deze relatieve groeifactor ook weleens wordt uitgedrukt in een percentage. Echter, alleen kleine relatieve groeifactoren, uitgedrukt als percentage, zijn bij benadering gelijk aan het groeipercentage. Dat blijkt uit:

${\displaystyle g=e^{k}=1+k+{\frac {k^{2}}{2!}}+\ldots =1+{\frac {p}{100}}\to k\approx {\frac {p}{100}}.}$

Opmerking

net zoals de exponent ${\displaystyle kt}$ van ${\displaystyle e}$ dimensieloos is, moet de exponent van de groeifactor ${\displaystyle g}$ dimensieloos zijn. Omdat [T] de dimensie is van ${\displaystyle t,}$ moeten we daarom ${\displaystyle g^{t}}$ lezen als ${\displaystyle g^{t/1},}$ waarbij de dimensie van de 1 ook [T] is. Dit is ook te begrijpen als men zich realiseert dat ${\displaystyle g}$ de groei per eenheid van tijd is.

Van een fictieve populatie zijn van vijf achtereenvolgende jaren de relatieve groeisnelheden gegeven. Voor elk jaar wordt daaruit de groeifactor en het groeipercentage berekend. Met name voor het jaar 1969 bestaat er een duidelijk verschil tussen de relatieve groeisnelheid als percentage en het groeipercentage!

Jaar	1965	1966	1967	1968	1969
Relatieve groeisnelheid per jaar	0,01	0,05	0,10	0,15	0,20
Relatieve groeisnelheid per jaar als %	1,00%	5,00%	10,00%	15,00%	20,00%
Groeifactor per jaar	1,010	1,051	1,105	1,162	1,221
Groeipercentage per jaar	1,01	5,13	10,52	16,18	22,14

Een voordeel van het werken met relatieve groeisnelheden is dat de gemiddelde relatieve groeisnelheid gelijk is aan het gewone (rekenkundige) gemiddelde van de relatieve groeisnelheden. Hoewel het in het algemeen is af te raden om met percentages te rekenen, kan dat in dit voorbeeld zonder probleem. Het gemiddelde percentage is 10,20% en dat is de gemiddelde relatieve groeisnelheid, uitgedrukt als percentage. Zie de volgende tabel.

Resultaten
Product van de groeifactoren over 5 jaar	1,665
Groeipercentage over 5 jaar	66,53
Gemiddelde groeifactor per jaar	1,107
Gemiddeld groeipercentage per jaar	10,74
-	-
Gemiddelde relatieve groeisnelheid per jaar	0,1020
Gemiddelde relatieve groeisnelheid per jaar als %	10,20%

Merk op, dat de relatieve groeisnelheid per jaar en het groeipercentage duidelijk verschillen. Hier wordt dat verschil vooral veroorzaakt door de betrekkelijk grote percentages in de laatste jaren 1968 en 1969.

In veel toepassingen werkt men liever met een ander grondtal dan het grondtal ${\displaystyle e}$ In een context waar de verdubbelingstijd een rol speelt (${\displaystyle k}$ positief), gebruikt men bij voorkeur het grondtal 2. In bijvoorbeeld de stralingsfysica, waar sprake is van exponentieel verval (${\displaystyle k}$ negatief), en waar halveringstijd een belangrijke rol speelt, maakt men veel gebruik van het grondtal ½. In dat vakgebied berekent men de halveringsdikte van materialen voor de afscherming van gamma- en röntgenstraling, waarbij ook de voorkeur uitgaat naar het grondtal 1/2. In geluidstoepassingen geeft men weer de voorkeur aan het grondtal 10.

Is ${\displaystyle b}$ het gewenste grondtal, dan kunnen we stellen ${\displaystyle e^{kt}=b^{\beta t}}$ voor een zekere waarde van ${\displaystyle \beta }$ die uit te drukken is in ${\displaystyle b:}$

${\displaystyle \beta ={\frac {k}{\ln b}}}$.

De oplossing van de differentiaalvergelijking is nu te formuleren als:

${\displaystyle x(t)=x(0)\cdot b^{\left({\frac {k}{\ln b}}\right)t}}$

Heeft men voorkeur voor het gebruik van 2 als grondtal, dan berekent men de verdubbelingstijd ${\displaystyle t_{D}}$ uit ${\displaystyle e^{kt_{D}}=2\to t_{D}={\frac {\ln 2}{k}}}$ en kan men de oplossing van de differentiaalvergelijking formuleren als

${\displaystyle x(t)=x(0)\cdot 2^{\frac {t}{t_{d}}}}$

Exponentieel verval (negatieve ${\displaystyle k}$) kan men op overeenkomstige wijze uitdrukken in de halveringstijd ${\displaystyle t_{H}:}$

${\displaystyle x(t)=x(0)\cdot {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{\frac {t}{t_{H}}}}$

• Investeren/sparen/lenen. Een constant rendement en een constante voet van samengestelde rente zonder bijstorten en zonder opnemen/bijlenen/aflossen, waarbij ook geen rente wordt ontvangen/betaald, betekent exponentiële groei van het vermogen.
• Biologie
  • Bacterie-"groei" in een kweekschaal verloopt, via binaire deling, exponentieel, totdat het beschikbare voedsel is uitgeput.
  • Een nieuw virus (zoals SARS bijvoorbeeld) kan zich zeker in de beginfase van de uitbraak exponentieel uitbreiden totdat er een zekere mate van groepsimmuniteit is bereikt.
  • De menselijke bevolking onder bepaalde omstandigheden.
• Natuurkunde
  • Een kernreactie zoals in een kernwapen. Elk uraniumatoom dat splijt produceert neutronen, die elk worden geabsorbeerd door naburige uranium atomen, die op hun beurt gaan splijten. Dit kan in de hand gehouden worden in een kernreactor door het grootste deel van de neutronen af te vangen.
  • Een ongedempte trilling met een constante aandrijvingskracht zal een exponentieel toenemende amplitudo vertonen.
  • Laden (en ontladen) van een condensator.
  • Opwarmen (of koelen) ${\displaystyle T=Ae^{-kt}}$ waarin ${\displaystyle T}$ de temperatuur, ${\displaystyle t}$ de tijd en ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle k>0}$ constanten zijn.
  • Radioactief verval. De hoeveelheid van de radioactieve stof neemt in de tijd af als ${\displaystyle A(t)=A_{0}e^{-t/\tau }}$ met ${\displaystyle \tau }$ de vervaltijd.
• Computers: De wet van Moore stelt dat de rekenkracht van processoren een exponentiële groei vertoont.

Als een exponentiële groei wordt weergegeven met een logaritmische schaal verschijnt een rechte lijn, waarvan de helling overeenkomt met de waarde van de exponent.

• Exponentiële afname