Inverteerbaar

In de wiskunde wordt een afbeelding of functie inverteerbaar of bijectief genoemd als er een afbeelding in de omgekeerde richting bestaat die precies de 'tegengestelde' is van ${\displaystyle f.}$ Deze afbeelding heet de inverse van ${\displaystyle f}$ en wordt genoteerd als ${\displaystyle f^{-1}}$ (spreek uit als f-invers). Preciezer gezegd, als ${\displaystyle f:X\to Y}$ een afbeelding is van een verzameling ${\displaystyle X}$ naar een verzameling ${\displaystyle Y,}$ dan heet ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$ de inverse van ${\displaystyle f}$ als hij aan de volgende twee voorwaarden voldoet:

• Voor alle ${\displaystyle x\in X}$ geldt ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ .
• Voor alle ${\displaystyle y\in Y}$ geldt ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$ .

Grafiek met functie ${\displaystyle f(x)}$ en de inverse van ${\displaystyle f(x)}$

Deze voorwaarden kunnen ook geschreven worden als ${\displaystyle f^{-1}\circ f=\mathrm {id} _{X}}$ (${\displaystyle f^{-1}}$ is een linksinverse van ${\displaystyle f}$ ) en ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\mathrm {id} _{Y}}$ (${\displaystyle f^{-1}}$ is een rechtsinverse van ${\displaystyle f}$ ). Hier staat het symbool ${\displaystyle \circ }$ ('na') voor de samenstelling van twee afbeeldingen en ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$ en ${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}}$ voor de identieke afbeelding op ${\displaystyle X}$ respectievelijk ${\displaystyle Y.}$

Een functie ${\displaystyle f}$ van een verzameling ${\displaystyle X}$ naar een verzameling ${\displaystyle Y}$ is dan en slechts dan inverteerbaar als er voor ieder element ${\displaystyle y\in Y}$ precies één element ${\displaystyle x\in X}$ is waarvoor ${\displaystyle f(x)=y}$ . Een andere manier om dit te zeggen is dat ${\displaystyle f}$ zowel injectief is (voor elke ${\displaystyle y\in Y}$ is er hoogstens één ${\displaystyle x\in X}$ met ${\displaystyle f(x)=y}$ ) als surjectief (voor elke ${\displaystyle y}$ is er minstens een zo'n ${\displaystyle x}$ ).

Bij een functie ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ontstaat de grafiek van de functie ${\displaystyle f^{-1}}$ door lijnspiegeling van de grafiek van ${\displaystyle f}$ in de lijn ${\displaystyle y=x}$ .