Matrixvermenigvuldiging

Matrixvermenigvuldiging van een matrix ${\displaystyle A}$ met een matrix ${\displaystyle B}$ is alleen mogelijk als het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix. Stel daarom dat ${\displaystyle A}$ een ${\displaystyle m\times n}$-matrix is en ${\displaystyle B}$ een ${\displaystyle n\times p}$-matrix. Het matrixproduct ${\displaystyle AB}$ is dan een ${\displaystyle m\times p}$-matrix gegeven door:

${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}}$

voor elk paar ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle j.}$ Hier staat ${\displaystyle (AB)_{ij}}$ voor het element op positie ${\displaystyle (i,j)}$ in het matrixproduct ${\displaystyle AB.}$

De volgende figuur maakt duidelijk hoe men het element ${\displaystyle (AB)_{12}}$ van ${\displaystyle AB}$ bepaalt, als ${\displaystyle AB}$ een 4x2-matrix is en ${\displaystyle B}$ een 2×3-matrix. Elk paar op de weg van de pijl wordt vermenigvuldigd en de producten worden bij elkaar opgeteld. De positie van het resulterende getal in ${\displaystyle AB}$ correspondeert met de rij en kolom die werd beschouwd.

${\displaystyle (AB)_{12}=\sum _{r=1}^{2}a_{1r}b_{r2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}}$

Een uitgewerkt voorbeeld van matrixvermenigvuldiging is het volgende:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\times 1+2\times 3&1\times 2+2\times (-4)&1\times 3+2\times 7\\4\times 1+3\times 3&4\times 2+3\times (-4)&4\times 3+3\times 7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7&-6&17\\13&-4&33\end{bmatrix}}}$

Een matrix kan worden opgevat als lineaire afbeelding. Het matrixproduct van twee matrices is dan de samenstelling van beide afbeeldingen.

Zo beeldt in de onderstaande berekening de genoemde matrix de vector ${\displaystyle (x,y,z)}$ af op:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\3&-4&7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x+2y+3z\\3x-4y+7z\end{bmatrix}}}$

De matrix in onderstaande berekening beeldt de vector ${\displaystyle (a,b)}$ af op:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a+2b\\4a+3b\end{bmatrix}}}$.

Aan het beeld van ${\displaystyle (x,y,z)}$ onder de eerste matrix voegt de tweede dus toe:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\4&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x+2y+3z\\3x-4y+7z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(x+2y+3z)+2(3x-4y+7z)\\4(x+2y+3z)+3(3x-4y+7z)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7x-6y+17z\\13x-4y+33z\end{bmatrix}}}$

Dit is juist het beeld van de vector ${\displaystyle (x,y,z)}$ onder het product van de twee matrices:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-6&17\\13&-4&33\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}7x-6y+17z\\13x-4y+33z\end{bmatrix}}}$

Matrixvermenigvuldiging heeft de volgende eigenschappen:

• ${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$ (associativiteit)
• ${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$ (distributiviteit links)
• ${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$ (distributiviteit rechts)
• ${\displaystyle r(AB)=(rA)B=A(rB)}$ voor elk getal ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle IA=A=AI}$, waarin ${\displaystyle I}$ de eenheidsmatrix voorstelt.
• ${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$, waarin ${\displaystyle {}^{\text{T}}}$ staat voor de getransponeerde matrix.

Matrixvermenigvuldiging is in het algemeen niet commutatief, d.w.z. in het algemeen zijn ${\displaystyle AB}$ en ${\displaystyle BA}$ niet aan elkaar gelijk.

Als ${\displaystyle AB=-BA}$, heten de matrices anticommuterend.

Wanneer het aantal rijen en het aantal kolommen in een matrix hetzelfde is, heet die matrix vierkant. Als we ons beperken tot vierkante matrices van gelijke afmeting met elementen in een algebraïsch getallenlichaam (Nederlands) of getallenveld (Belgisch) ${\displaystyle K,}$ dan vormen deze een associatieve algebra.

Niet elke vierkante matrix heeft een invers element voor de vermenigvuldiging. Een matrix is inverteerbaar of omkeerbaar dan en slechts dan als de determinant van die matrix ongelijk is aan nul. De omkeerbare matrices van gelijke afmeting vormen een groep voor de matrixvermenigvuldiging: de lineaire groep.

Soms wordt de formule voor matrixvermenigvuldiging van een matrix ${\displaystyle A}$ met een matrix ${\displaystyle B}$ toegepast als de elementen van de matrices niet allemaal elementen van een lichaam/veld zijn. Dat kan als de betrokken vermenigvuldigingen en optellingen gedefinieerd zijn, dus bijvoorbeeld als de elementen van ${\displaystyle A}$ gewoon de elementen van een lichaam/veld zijn, maar de ${\displaystyle b_{j}}$ vectoren zijn uit een vectorruimte ${\displaystyle V}$ over hetzelfde lichaam/veld. Hierbij wordt dus een gewone matrix vermenivuldigd met een kolomvector waarvan ieder element een vector uit ${\displaystyle V}$ is. Het resultaat is ook weer een kolomvector waarvan ieder element een vector uit ${\displaystyle V}$ is. Zie bijvoorbeeld Basistransformatie.

Er geldt met ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ gewone matrices nog steeds

• ${\displaystyle A(Bc)=(AB)c}$,

dus als A inverteerbaar is ook

• ${\displaystyle A(A^{-1}c)=c}$

Verder:

• ${\displaystyle (Ab)^{\text{T}}=b^{\text{T}}A^{\text{T}}}$

waarbij een vector maal een scalar wordt gedefinieerd als de scalar maal de vector.

• Matrixoptelling
• Hadamardproduct