Arbeid (natuurkunde)

De verrichte arbeid van een kracht wordt in alle gevallen gedefinieerd als het product van de component van die kracht in de richting van de verplaatsing en de verplaatsing zelf.[1] Is de kracht ${\displaystyle {\vec {F}}}$ niet constant en/of de verplaatsing een kromme, dan geldt de formule voor een (infinitesimaal) klein stukje ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$ van de weg. De bijdrage ${\displaystyle \mathrm {d} W}$ aan de totale arbeid is het scalair product van kracht en ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$:

${\displaystyle \mathrm {d} W={\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=F_{x}\mathrm {d} x+F_{y}\mathrm {d} y+F_{z}\mathrm {d} z}$

Dit leidt ertoe dat arbeid gedefinieerd is als de integraal van deze bijdrage over de gehele weg ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle W=\int _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

Arbeid is een scalaire grootheid, kan positief of negatief zijn, en wordt uitgedrukt in joule. Arbeid gaat altijd samen met een verandering van energie en heeft ook dezelfde eenheid, maar er zijn ook energieomzettingen waarbij geen arbeid verricht wordt. Altijd als iets tegen een bepaalde kracht in wordt bewogen, wordt er door die kracht negatieve arbeid verricht; wordt iets met een kracht mee bewogen, dan is de door die kracht verrichte arbeid positief. Ruwweg kan het volgende principe gebruikt worden: als de kracht de beweging bevordert is de arbeid van die kracht positief, als de beschouwde kracht de beweging tegenwerkt is de arbeid negatief. Een voorbeeld is het indrukken van een balpenveer: bij het indrukken van de veer wordt arbeid verricht door degene die de veer indrukt (de spierkracht maal de afstand), maar de veer verricht negatieve arbeid. Bij het loslaten komt die opgeslagen energie weer vrij, de veer verricht positieve arbeid.

Is er geen beweging, dan is de verplaatsing ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$ nul dus is de arbeid 0 joule. Als de beweging dwars op de kracht gericht is, is de verplaatsing ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}}$ dat ook en is de hoekfactor (cosinus 90 graden) nul dus is ook de arbeid 0 joule.

Bij een ballista wordt er arbeid verricht om de pijl een hoge kinetische energie te geven

Als ${\displaystyle {\vec {F}}}$ de enige kracht is op een puntmassa (${\displaystyle m}$), of de resultante van alle krachten, is de omzetting van arbeid in kinetische energie af te leiden uit ${\displaystyle {\vec {F}}=m\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}}$ (de tweede van de wetten van Newton) en ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {v}}\cdot \mathrm {d} t}$

${\displaystyle W=\int _{1}^{2}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{1}^{2}m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\cdot {\vec {v}}\,\mathrm {d} t=m\int _{1}^{2}{\vec {v}}\cdot \mathrm {d} {\vec {v}}={\tfrac {1}{2}}m\int _{1}^{2}\mathrm {d} ({\vec {v}})^{2}}$

${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}m({\vec {v}}_{2}^{2}-{\vec {v}}_{1}^{2})=\Delta E_{k}}$

Hierbij geven 1 en 2 de begin- en eindtoestand van het traject ${\displaystyle C}$ aan, en ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$ en ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$ de bijbehorende begin- en eindsnelheden.

Bij een draaiende koppeling wordt er arbeid verricht tijdens het draaien

Als op een voorwerp twee evenwijdige doch in tegengengestelde richtingen even grote krachten ${\displaystyle F}$ werken op onderlinge loodrechte afstand ${\displaystyle d}$, wordt er geen netto kracht uitgeoefend op dat voorwerp, maar wel een koppel met grootte ${\displaystyle Fd}$. Een koppel is een vectoriële grootheid, die de draairichting aangeeft. Er gelden dan analoge betrekkingen voor de hoekdraaiing en het uitgeoefende koppel. Is het koppel ${\displaystyle {\vec {U}}}$ constant, dan geldt:

${\displaystyle W={\vec {U}}\cdot {\vec {\theta }}}$.

Algemeen geldt:

${\displaystyle W=\int {\vec {U}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}}$

Hierin is:

• ${\displaystyle {\vec {U}}}$ het koppel uitgedrukt in Nm
• ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$ de hoek uitgedrukt in rad

Bij het uitboren van een kanonsloop wordt er een aanzienlijke hoeveelheid warmte geproduceerd

Een van de eerste ontwikkelingen in de vroege thermodynamica was dat men zich realiseerde dat er een equivalentie bestaat tussen arbeid en warmte. Bijvoorbeeld bij het boren van kanonslopen ondervond Benjamin Thompson al in de 18e eeuw dat er een voorspelbare hoeveelheid warmte vrijkwam. James Prescott Joule heeft die equivalentie in 1850 experimenteel aangetoond. De Eerste wet van de thermodynamica gaat dan ook over de relatie tussen toegevoerde warmte, inwendige energie en arbeid. De warmte-eenheid calorie naast de joule is daarmee overbodig geworden. Officieel is dat ook zo, maar uit het algemene spraakgebruik is de calorie nog niet helemaal verdwenen.

Als een elektrisch geladen deeltje beweegt in een elektrisch veld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ dan is er ook een arbeids-effect. Door het veld wordt een kracht ${\displaystyle {\vec {F}}}$ uitgeoefend op een deeltje met lading ${\displaystyle Q}$, gegeven door:

${\displaystyle {\vec {F}}=Q'{\vec {E}}}$

Als niets tegenwerkt zal het deeltje zich in de richting van die kracht verplaatsen. Is het veld constant, dan is de verrichte arbeid ${\displaystyle W}$ bij verplaatsing over een afstand ${\displaystyle \Delta x}$:

${\displaystyle W=|{\vec {F}}|s=Q'|{\vec {E}}|\,\mathrm {d} x}$

Nu is ${\displaystyle U=-|{\vec {E}}|s}$ juist het potentiaalverschil tussen eind-en beginpunt van de afgelegde weg, zodat voor de arbeid de volgende eenvoudige formule geldt:

${\displaystyle W=-Q'U}$

waarbij ${\displaystyle Q'}$ de passieve lading is (de lading die de kracht ondergaat).

• Kracht
• Vermogen