Lijnintegraal

Een lijnintegraal is een van de generalisaties van het klassieke (Riemannse) integraalbegrip voor meerdimensionale ruimten. Het domein van de gegeven functie is niet langer een reëel interval, maar een stuksgewijs differentieerbare kromme in een meerdimensionale ruimte (of algemener, een variëteit waarop een booglengte is gedefinieerd).

De lijnintegraal over een scalairenveld f kan men zich voorstellen als de oppervlakte onder de kromme C, gelegen op een oppervlak z = f(x,y), dat beschreven wordt door het scalairenveld.

Om de lijnintegraal van de scalaire functie $f$ over de boog $AB$ op de kromme $K$ te bepalen, wordt de boog opgedeeld in $n$ stukjes door de punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\,$ . Bij deze opdeling hoort een Riemannsom

\sum _{k=1}^{n}f(a_{k})\Delta s_{k}

,

waarin $\Delta s_{k}$ de lengte van de boog tussen de punten $x_{k-1}$ en $x_{k}$ is, en $a_{k}$ een punt op deze boog. Als in een bepaald limietproces bij voorgaande verfijning van de opdeling de Riemannsommen convergeren, noemt men de limiet de lijnintegraal

\int _{AB}f\,\mathrm {d} s

Kringintegraal

Als de kromme $C$ waarover geïntegreerd wordt, gesloten is, heeft het beginpunt geen invloed op de lijnintegraal. Men kan dus integreren over een vrije lus. Men spreekt dan van een kringintegraal of contourintegraal, genoteerd als:

\oint \limits _{C}f\,\mathrm {d} s

Parametrisering

Als de boog $AB$ geparametriseerd is door de bijectie

g:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}

,

waarin $a$ en $b$ vectoren in de ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ zijn waarvoor $A=g(a)$ en $B=g(b)$ , kan de lijnintegraal geschreven worden als:

\int _{AB}f\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(g(t))\,\|g'(t)\|\,\mathrm {d} t

Hierin is $t$ de parameter waarmee het door $g$ gedefinieerde traject in de ruimte $\mathbb {R} ^{n}$ doorlopen wordt. De waarde van een scalaire lijnintegraal is afhankelijk van de functie $f$ en van de boog $AB$ maar niet van de gebruikte paramterisatie om die boog te doorlopen, noch van de zin waarin die doorlopen wordt.

Voorbeeld

Is een rondgang van een schroeflijn langer dan een cirkel met dezelfde straal? We geven de schroeflijn voor $0<t<1$ door:

x(t)=\rho \cos(2\pi t)

y(t)=\rho \sin(2\pi t)

z(t)=\alpha t

De lengte $L$ van de boog bij één rondgang (van $A$ naar $B$ ) is:

L=\int _{AB}1\,\mathrm {d} s=\int _{0}^{1}\|g'(t)\|\,\mathrm {d} t=

=\int _{0}^{1}{\sqrt {(2\pi \rho )^{2}(\sin ^{2}(2\pi t)+\cos ^{2}(2\pi t))+\alpha ^{2}}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {(2\pi \rho )^{2}+\alpha ^{2}}}

,

dus zo lang als de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden de spoed $\alpha$ en de omtrek van een cirkel met straal $\rho$ . De omtrek van een cirkel is dus kleiner dan deze weglengte, indien $\alpha \neq 0$ .

Complexe lijnintegraal

In de complexe analyse kan het product $F(a_{k},b_{k})\Delta s_{k}$ geïnterpreteerd worden als een vermenigvuldiging van complexe getallen. Het eerste belangrijke resultaat van de complexe analyse luidt als volgt

Integraaltheorema van Cauchy

Als het domein van een complex differentieerbare, holomorfe functie enkelvoudig samenhangend is (dat wil zeggen “geen gaten heeft”), dan is de lijnintegraal van die functie tussen twee gegeven punten in het domein, onafhankelijk van de gekozen weg. Een voorbeeld is het gravitatieveld. Dit theorema kan als volgt worden geformuleerd:

\oint _{\!\!\!C}f(z)\,\mathrm {d} z=0

Elke kringintegraal van zo'n functie is dus gelijk aan nul.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.