Euclidisch domein
In de abstracte algebra en de ringtheorie, deelgebieden van de wiskunde, is een euclidisch domein een ring die aan bepaalde voorwaarden voldoet. Het is een commutatieve ring waarin de geheeltallige deling is gedefinieerd.
Voor de getallen geldt de hoofdstelling van de rekenkunde, die zegt dat ieder getal als het product van priemgetallen kan worden geschreven. Met het algoritme van Euclides is de grootste gemene deler van twee getallen te bepalen en volgens de stelling van Bachet-Bézout is die grootste gemene deler een lineaire combinatie van de twee oorspronkelijke getallen. Deze eigenschappen gelden ook in een euclidisch domein. Ieder ideaal in een euclidisch domein is een hoofdideaal.
Een euclidisch domein komt in de onderstaande keten van deelverzamelingen voor:
lichamen (Nederlands) of velden (Belgisch) ⊂ euclidische domeinen ⊂ hoofdideaaldomeinen ⊂ unieke factorisatiedomeinen ⊂ integriteitsdomeinen ⊂ commutatieve ringen ⊂ ringen
Definitie euclidische functie
Beschouw een integriteitsdomein R. Een euclidische functie op R is een functie van naar de niet-negatieve gehele getallen die voldoet aan de volgende deling-met-rest eigenschap:
- Als a en b elementen zijn van R en b is niet 0, dan bestaan er elementen q en r in R zodanig dat a = bq + r waarbij ofwel r = 0 ofwel f(r) < f(b).
Definitie euclidisch domein
Een euclidisch domein is een integriteitsdomein waaraan minstens een euclidische functie kan worden toegevoegd.
Let wel: een specifieke euclidische functie f is zelf niet onderdeel van de structuur van een euclidisch domein; in het algemeen zal een Euclidisch domein veel verschillende euclidische functies kennen.
Opmerking
Veel auteurs stellen dat een euclidische functie bovendien aan de volgende additionele eis moet voldoen:
- Voor alle elementen a ongelijk aan 0 en alle elementen b in R geldt f(a) ≤ f(ab).