Monoïde

Onder een monoïde ${\displaystyle (M,*)}$ verstaat men een niet-lege verzameling ${\displaystyle M}$ met daarop een associatieve binaire operatie: ${\displaystyle *:M\times M\to M}$ en een voor deze bewerking neutraal element ${\displaystyle e}$, die dus voldoen aan de axioma's.

• Associativiteit: voor alle ${\displaystyle a,b,c\in M}$ geldt ${\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}$
• Neutraal element: er is een element ${\displaystyle e\in M}$ waarvoor geldt dat ${\displaystyle e*a=a*e=a}$ voor alle ${\displaystyle a\in M}$.

Een monoïde is een tussenstadium tussen een halfgroep en een groep. Aan de ene kant is een monoïde een halfgroep met een identiteits element, aan de andere kant voldoet een monoïde op één uitzondering na aan alle axioma's, waar ook een groep aan moet voldoen; voor een monoïde is het alleen niet vereist dat elk element een inverse heeft. Een monoïde met inverses zou namelijk een groep zijn.

Als een operatie expliciet moet worden gemaakt, kan een monoïde worden aangegeven door het paar ${\displaystyle (M,*)}$. Het is gebruikelijk om ${\displaystyle a*b}$ in plaats van ${\displaystyle *(a,b)}$ te schrijven voor het resultaat van de bewerking ${\displaystyle *}$ toegepast op de elementen ${\displaystyle a,b\in M}$.

• De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$, is een monoïde met 0 als neutraal element.
• De natuurlijke getallen zonder 0 met de optelling, genoteerd als ${\displaystyle (\mathbb {N} _{0},+)}$, is géén monoïde, want er is geen neutraal element. Uit ${\displaystyle 1+n=1}$ volgt namelijk noodzakelijk ${\displaystyle n=0}$.
• De gehele getallen met de optelling, genoteerd als ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, is een monoïde met 0 als neutraal element.
• Elk singleton ${\displaystyle \{x\}}$ geeft aanleiding tot een uit één element bestaande (triviale) monoïde. Voor een vaste ${\displaystyle x}$ is deze monoïde uniek, aangezien de axioma's van de monoïde vereisen dat ${\displaystyle x*x=x}$.
• Elke groep is een monoïde, en elke abelse groep is een commutatieve monoïde.
• Elk begrensd halfrooster is een idempotente commutatieve monoïde.
• Een halfgroep ${\displaystyle S}$ kan eenvoudig worden veranderd in een monoïde door een element ${\displaystyle e}$, dat niet in ${\displaystyle S}$ voorkomt toe te voegen en vervolgens ${\displaystyle e*e=e}$ en ${\displaystyle s*e=e*s=s}$ te definiëren voor iedere ${\displaystyle s\in S}$.
• De natuurlijke getallen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ vormen een commutatieve monoïde onder optelling (neutraal element nul), of vermenigvuldiging (neutraal element een). Een deelmonoïde van ${\displaystyle \mathbb {N} }$ onder optelling wordt een numerieke monoïde genoemd.

De vrije monoïde van een verzameling ${\displaystyle V}$ is de monoïde die bestaat uit de verzameling van alle eindige rijen van nul of meer elementen van ${\displaystyle V}$, met concatenatie (achter elkaar zetten) als operatie, en de rij van nul elementen als neutraal element.

In de context van een tekenset ${\displaystyle V}$ (een verzameling schrifttekens zoals bijvoorbeeld letters, cijfers, leestekens e.d.) is de vrije monoïde de verzameling (eindige) tekenreeksen (strings) bij deze tekenset. In relatie tot computers wordt een tekenset vaak besproken in combinatie met de tekencodering.

Monoïden komen in aantal deelgebieden van de wiskunde voor. In de meetkunde representeert een monoïde het concept van een functiecompositie; dit idee is geabstraheerd in de categorietheorie, waar de monoïde een categorie met één object is. Monoïden worden ook gebruikt om een stevige algebraïsche fundering te geven aan de informatica.