Singleton (wiskunde)
Een singleton (of eenpuntsverzameling) is in de wiskunde een verzameling met precies één element. Dit element kan zelf een verzameling zijn.
Eigenschappen
Merk op dat een verzameling als {{1, 2, 3}} een singleton is, want er is maar één element. Dat element is een verzameling die echter zelf geen singleton is, omdat deze verzameling drie elementen telt.
Een verzameling is een singleton dan en slechts dan als zijn kardinaliteit gelijk is aan 1. In de verzameling-theoretische constructie van de natuurlijke getallen is het getal 1 gedefinieerd als de singleton {0}.
In de axiomatische verzamelingentheorie is het bestaan van singletons een gevolg van de axioma's van de lege verzameling en het paringsaxioma (voor elke A en B bestaat {A , B}): het eerste geeft de lege verzameling ∅ en de tweede, toegepast op het paar ∅ en ∅, de singleton {∅}.
Als A een verzameling is en S een singleton, dan bestaat er precies één functie van A naar S, de functie die elk element van A op het ene element van S afbeeldt.
Voorbeelden
- {1} is een singleton
- {a} is een singleton
- {1, 1} is een singleton
- {1, 2} is geen singleton
- { {1, 2} } is een singleton
- ∅ is geen singleton
- {∅} is een singleton
Eigenschappen
- In elke metrische ruimte is een singleton steeds een gesloten verzameling