Absolute continuïteit

Een reëelwaardige functie ${\displaystyle f}$ heet absoluut continu als voor elke ${\displaystyle \varepsilon >0}$ er een ${\displaystyle \delta >0}$ bestaat, zodanig dat voor elke rij paarsgewijs disjuncte intervallen ${\displaystyle ([x_{k},y_{k}],\ k=1,\ldots ,n)}$ die voldoet aan

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

geldt:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left|f(y_{k})-f(x_{k})\right|<\varepsilon }$

Elke absoluut continue functie is ook uniform continu en daarom tevens continu. Elke Lipschitz-continue functie is absoluut continu.

De Cantorfunctie is overal continu, maar niet absoluut continu.

Zij ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ een meetbare ruimte, en ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle \nu }$ twee maten op die ruimte. Dan heet ${\displaystyle \nu }$ absoluut continu ten opzichte van ${\displaystyle \mu }$, genoteerd ${\displaystyle \nu \ll \mu }$, als elke nulverzameling voor ${\displaystyle \mu }$ ook een nulverzameling is voor ${\displaystyle \nu }$, dus als voor elke ${\displaystyle N\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu (N)=0\implies \nu (N)=0}$

Een maat ${\displaystyle \mu }$ op de reële getallen is absoluut continu ten opzichte van de lebesgue-maat dan en slechts dan als haar verdelingsfunctie

${\displaystyle x\mapsto F(x)=\mu ((-\infty ,x])}$

een absoluut continue functie is.

Als ${\displaystyle \mu }$ en ${\displaystyle \nu }$ eindige maten zijn op een meetbare ruimte ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, en ${\displaystyle \nu \ll \mu }$, dan bestaat er een ${\displaystyle \mu }$-integreerbare reële functie ${\displaystyle f}$ op ${\displaystyle X}$ met de eigenschap dat voor elke ${\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}$ geldt:

${\displaystyle \nu (S)=\int _{S}f\,\mathrm {d} \mu }$

In de kansrekening wordt deze stelling als volgt geïnterpreteerd: als de verdelingsmaat van een stochastische variabele absoluut continu is ten opzichte van de lebesgue-maat, dan heeft de veranderlijke een kansdichtheid. We spreken dan van een continue stochastische variabele.

Als ${\displaystyle \nu }$ niet absoluut continu is ten opzichte van ${\displaystyle \mu }$, dan kan ze op unieke wijze gesplitst worden in een absoluut continu en een singulier gedeelte, zie wederzijds singuliere maten.