Wederzijds singuliere maten

In de maattheorie, een tak van de wiskundige analyse, noemt men twee maten $\mu$ en $\nu$ op een gegeven meetbare ruimte $(X,{\mathcal {A}})$ wederzijds singulier, genoteerd $\mu \perp \nu$ , als ze geconcentreerd zijn op onderling disjuncte meetbare verzamelingen. Dat houdt in dat er disjuncte meetbare verzamelingen $A,B\in {\mathcal {A}},\ A\cap B=\varnothing$ zijn, zodanig dat voor alle meetbare verzamelingen $C\in {\mathcal {A}}$ geldt:

\mu (C)=\mu (C\cap A)

en

\nu (C)=\nu (C\cap B)

Wederzijdse singulariteit is in zekere zin het "tegenovergestelde" van absolute continuïteit. Dit wordt gesterkt door de elementaire opmerking dat als $\nu \ll \mu$ en $\nu \perp \mu$ , dan $\nu =0$ , en door de (allerminst elementaire) onderstaande stelling.

Stelling van Radon-Nikodym-Lebesgue

Als $\mu$ en $\nu$ eindige maten zijn op een meetbare ruimte $(X,{\mathcal {A}})$ , dan kan $\nu$ op eenduidige wijze gesplitst worden in een singulier en een absoluut continu gedeelte:

\nu =\nu _{s}+\nu _{a},\nu _{a}\ll \mu ,\nu _{s}\perp \mu

Bovendien is $\nu _{s}\perp \nu _{a}$ , en $\nu _{a}$ heeft een $\mu$ -integreerbare dichtheidsfunctie $f$ :

\nu _{a}(A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu \quad

voor alle

A\in {\mathcal {A}}

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.