Speciale unitaire groep

De speciale unitaire groep SU(n) is een reële matrix Lie-groep van dimensie n² − 1. Topologisch is de speciale unitaire groep compact en enkelvoudig samenhangend. Algebraïsch is het een enkelvoudige Lie-groep (dit betekent dat zijn Lie-algebra simpel is; zie onder). Het centrum van SU(n) is isomorf met de cyclische groep Z_n. De uitwendige automorfismegroep, voor n ≥ 3, is Z₂, terwijl de buiten automorfismegroep voor SU(2) de triviale groep is.

De SU(n) algebra wordt gegenereerd door n² operatoren, die voldoen aan de commutator relatie (voor i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

${\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}}$

In aanvulling hierop moet de operator

${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}$

voldoen aan

${\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0}$

wat impliceert dat het aantal onafhankelijke generatoren van SU(n) n²−1 is.[1]

Een algemene SU(2) matrix heeft de vorm

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{*}&a^{*}\end{pmatrix}}}$

Let op ${\displaystyle *}$ in de tweede rij van de hierboven afgebeelde matrix staat voor de complexe conjugatie operatie en zijn a en b complexe getallen die voldoen aan

${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$.

In de definiërende representatie zijn de generatoren ${\displaystyle T_{a}\,}$ proportioneel aan de Pauli-matrices ${\displaystyle \sigma _{a}\,}$ via:

${\displaystyle T_{a}={\frac {\sigma _{a}}{2}}.\,}$

waar:

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Merk op dat alle generatoren, zoals vereist spoorloze Hermitische matrices zijn.

De structuurconstanten voor SU(2) worden gedefinieerd door het Levi-Civita-symbool

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

De rest kan worden bepaald door antisymmetrie. Alle d-waarden verdwijnen.

De generatoren van SU(3), T, worden in de definiërende representatie gegeven door:

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}.\,}$

waar ${\displaystyle \lambda \,}$, de Gell-Mann-matrices het SU(3) analogon is van de Pauli-matrix voor SU(2):

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

Merk op dat dit, zoals vereist, allen spoorloze Hermitische matrices zijn.

Dit gehoorzaamt aan de relaties

• ${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,}$

waar de f's, zoals eerder gedefinieerd, de structuurconstanten zijn. De waarden worden gegeven door

${\displaystyle f^{123}=1\,}$

${\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$

De d's hebben de waarden:

${\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,}$