Algemene lineaire groep

In de wiskunde is de algemene lineaire groep van de orde ${\displaystyle n}$ over een unitaire ring ${\displaystyle R}$, aangeduid door ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$ of ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$, de groep bestaande uit de verzameling van inverteerbare ${\displaystyle n\times n}$-matrices met elementen in ${\displaystyle R}$, met als groepsoperatie de gewone matrixvermenigvuldiging. In veel gevallen zal ${\displaystyle R}$ een lichaam NL / veld B zijn. Doordat het product van twee inverteerbare matrices opnieuw inverteerbaar is en de inverse van een inverteerbare matrix is ook weer inverteerbaar, is ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$ inderdaad een groep. De algemene lineaire groepen ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$ vinden toepassing in de theorie van de groepsrepresentaties en bij de studie naar symmetrieën.

Als de ring ${\displaystyle R}$ een eindig lichaam ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ is met ${\displaystyle q}$ een priemgetal of een macht van een priemgetal, schrijft men wel ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,q)}$ in plaats van ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$. Als uit de context blijkt dat de ring ${\displaystyle R}$ het lichaam/veld ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van de reële getallen of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ van de complexe getallen is, wordt ook eenvoudig ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ of ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ geschreven.

Voor alle ${\displaystyle n\geq 2}$ is de groep ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$ niet abels. De groep ${\displaystyle \mathrm {GL} (1,R)}$ is abels als ${\displaystyle R}$ een commutatieve ring is.

De speciale lineaire groep, geschreven als ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,R)}$ of ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(R)}$, is de ondergroep van ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$ bestaande uit matrices met determinant gelijk aan 1.

De groepen ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,R)}$ en hun ondergroepen worden vaak lineaire groepen of matrixgroepen genoemd. Het is een voorwaarde dat ${\displaystyle \mathrm {GL} (R)}$ een groep is. Wanneer dit het geval is, is ${\displaystyle \mathrm {GL} (R)}$ een lineaire groep maar geen matrixgroep. De modulaire groep kan worden gerealiseerd als een quotiëntgroep van de speciale lineaire groep ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$.