Gell-Mann-matrices

De Gell-Mann-matrices, genoemd naar Murray Gell-Mann, zijn een mogelijke weergave van de infinitesimale generatoren van de speciale unitaire groep genaamd SU(3).

Deze groep (in feite een reële Lie-algebra) heeft een dimensie van acht, en heeft daarom een verzameling met acht lineair onafhankelijke generatoren, die kunnen worden geschreven als g_i, waar i waarden van 1 tot 8 kan aannemen. Ze gehoorzamen aan de commutatierelaties

${\displaystyle [g_{i},g_{j}]=if^{ijk}g_{k}\,}$

waar een som over de index k wordt geïmpliceerd. De structuurconstanten ${\displaystyle f^{ijk}}$ zijn volledig anti-symmetrisch in de drie indices en zij hebben de waarden

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

Elke verzameling van Hermitische matrices, die aan deze relaties gehoorzamen zijn toegestaan. Een bijzondere keuze van matrices wordt een groepsweergave genoemd, omdat elk element van SU (3) in de vorm exp(i θ_j g_j) geschreven kan worden, waar θ_j reële getallen zijn en een som over de index j geïmpliceerd wordt. Gegevens een weergave, kan een andere worden verkregen door een willekeurige unitaire transformatie, aangezien dat de commutator ongewijzigd laat.

Een belangrijke weergave omvat 3×3 matrices, omdat de groepselementen dan op complexe vectoren met 3 inwerken, dat wil zeggen op de fundamentele weergave van de groep. Een bijzondere keuze van deze weergave is

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}$

en g_i = λ_i /2. Deze matrices zijn spoorloos, hermitisch en gehoorzamen aan de extra relatie Tr (λ_iλ_j) = 2δ_ij. Deze eigenschappen werden gekozen door Gell-Mann, omdat zij dan de Pauli-matrices veralgemenen.

In deze voorstelling is het duidelijk dat de Cartan-deelalgebra de verzameling van lineaire combinaties (met reële coëfficiënten) van de twee matrices λ₃ and λ₈, is die met elkaar commuteren, vormen. Er zijn 3 onafhankelijke SU(2) deelgroepen: {λ₁, λ₂, x}, {λ₄, λ₅, y}, en {λ₆, λ₇, z}, waar de x, y, z lineaire combinaties van λ₃ en λ₈ moeten bevatten.

Deze matrices vormen een nuttige weergave voor berekeningen in het quarkmodel, en, in mindere mate, in de kwantumchromodynamica.