Hermitische matrix

De ${\displaystyle n\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ met elementen in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ noemt men hermitisch als zijn getransponeerde matrix gelijk is aan zijn complex geconjugeerde matrix. In formulevorm

${\displaystyle A^{\text{T}}={\overline {A}}}$

Voor de elementen van de matrix geldt dan voor alle indices ${\displaystyle i}$ en ${\displaystyle j:}$

${\displaystyle a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}}$.

De onderstaande matrix is een hermitische 2×2-matrix:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{bmatrix}}}$

De diagonale elementen moeten reëel zijn, dit aangezien zij hun eigen complex geconjugeerde moeten zijn.

Bekende families van hermitische matrices zijn Pauli-matrices, Gell-Mann-matrices en hun veralgemeningen. In de theoretische natuurkunde worden dergelijke Hermitische matrices vaak vermenigvuldigd met imaginaire coëfficiënten[1] Dit resulteert in scheef-Hermitische matrices.

• Voor een hermitische matrix ${\displaystyle A}$ geldt voor een willekeurig inproduct ${\displaystyle (\ ,\ )}$: ${\displaystyle (x,Ay)=(Ax,y)}$.
  Daaruit ziet men ook direct dat de eigenwaarden van een hermitische matrix ${\displaystyle A}$ reëel zijn, immers als ${\displaystyle \lambda }$ een eigenwaarde van ${\displaystyle A}$ is, bij de eigenvector ${\displaystyle x\neq 0}$, geldt:

${\displaystyle \lambda (x,x)=(x,\lambda x)=(x,Ax)=(Ax,x)=(\lambda x,x)={\bar {\lambda }}(x,x)}$, zodat ${\displaystyle {\bar {\lambda }}=\lambda }$, dus reëel.

• Uit voorgaande eigenschap volgt dat de determinant van een hermitische matrix reëel is.
• Een reële hermitische matrix is een symmetrische matrix

In de natuurkunde spelen hermitische matrices een belangrijke rol, omdat deze altijd reële eigenwaarden hebben. Een operator met reële eigenwaarden correspondeert met een meetbare grootheid in de kwantummechanica.

Zo wordt bijvoorbeeld in de kwantummechanica de impuls ${\displaystyle p}$ voorgesteld door de operator:

${\displaystyle p_{\text{op}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial {x}}}}$

Deze is hermitisch, want:

${\displaystyle \langle \psi _{1}|p_{\text{op}}\psi _{2}\rangle =\langle p_{\text{op}}\psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

Immers:

${\displaystyle \langle \psi _{1}|p_{\text{op}}\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{1}^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x}}\,{\rm {d}}x=}$

${\displaystyle =\psi _{1}^{*}\psi _{2}|_{-\infty }^{+\infty }-\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}(\psi _{1}^{*}\psi _{2})\,{\rm {d}}x=}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{*}(\psi _{1}^{*}\psi _{2})\,{\rm {d}}x=\langle p_{\text{op}}\psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

Door de randvoorwaarde ${\displaystyle \psi _{1,2}(-\infty )=\psi _{1,2}(\infty )=0}$ valt de stokterm weg.

• David J. Griffiths, Introduction to quantum mechanics, ISBN 0131244051