Vertakkingspunt

In de complexe analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een vertakkingspunt van een meerwaardige functie (in de context van de complexe analyse ook wel aangeduid als een "multifunctie") een punt, waar deze functie in een willekeurig kleine omgeving rondom dit punt, discontinu is. Meerwaardige functies worden bestudeerd met behulp van Riemann-oppervlakken. De formele definitie van vertakkingspunt maakt zelfs gebruik van het concept van een Riemann-oppervlak.

Vertakkingspunten vallen uiteen in drie brede categorieën: algebraïsche vertakkingspunten, transcendentale vertakkingspunten, en logaritmische vertakkingspunten. Algebraïsche vertakkingspunten komen het meest voor in functies waar sprake is van ambiguïtiteit bij het trekken van een wortel, zoals het oplossen van de vergelijking ${\displaystyle z=w^{2}}$ voor ${\displaystyle w}$ als een functie van ${\displaystyle z}$ . Hier is het vertakkingspunt de oorsprong, omdat de analytische voortzetting van enige oplossing rond een gesloten lus, die de oorsprong bevat, in een andere functie zal resulteren: er is sprake van niet-triviale monodromie. Ondanks het algebraïsche vertakkingspunt is de functie ${\displaystyle w}$ als een meerwaardige functie "goed gedefinieerd" en is de functie ook continu in de oorsprong. Dit in tegenstelling tot de transcendentale- en logaritmische vertakkingspunten, waar een meerwaardige functie een niet-triviale monodromie en een essentiële singulariteit heeft. In de meetkundige functietheorie bedoelt men bij ongekwalificeerd gebruik van de term vertakkingspunt gewoonlijk het eerdere meer restrictieve type: het algebraïsche vertakkingspunt. In andere gebieden van de complexe analyse kan het ongekwalificeerde gebruik van de term ook verwijzen naar de meer algemene vertakkingspunten van het transcendentale type.