Möbiusfunctie

De möbiusfunctie ${\displaystyle \mu (n)}$ is gedefinieerd voor alle strikt positieve natuurlijke getallen ${\displaystyle n}$ en kan waardes aannemen in {−1, 0, 1} afhankelijk van de factorisatie van ${\displaystyle n}$ in priemfactoren. De functie is als volgt gedefinieerd:

• ${\displaystyle \mu (n)=1}$ als ${\displaystyle n}$ een positief kwadraatvrij geheel getal is met een even aantal verschillende priemfactoren.
• ${\displaystyle \mu (n)=-1}$ als ${\displaystyle n}$ een positief kwadraatvrij geheel getal is met een oneven aantal verschillende priemfactoren.
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$ als ${\displaystyle n}$ niet kwadraatvrij is.

Dit impliceert dat

• ${\displaystyle \mu (1)=1}$ (0 priemfactoren, 1 telt zelf niet mee)
• ${\displaystyle \mu (2)=-1}$ (1 priemfactor: 2)
• ${\displaystyle \mu (3)=-1}$ (1 priemfactor: 3)
• ${\displaystyle \mu (4)=0}$ (kwadraat)
• ${\displaystyle \mu (5)=-1}$ (1 priemfactor: 5)
• ${\displaystyle \mu (6)=1}$ (2 priemfactoren: 2 en 3)
• ${\displaystyle \mu (7)=-1}$ (1 priemfactor: 7)
• ${\displaystyle \mu (8)=0}$ (2x kwadraat, 2x4)
• ${\displaystyle \mu (9)=0}$ (kwadraat)

De eerste 50 functiewaarden staan in deze grafiek:

Mobiusfunctie voor ${\displaystyle n=1,\ldots ,50}$