Divergentie (wiskunde)

De oneindige som

${\displaystyle 1-1+1-1+...}$

is divergent. Als men de som van de eerste ${\displaystyle n}$ termen neemt, met ${\displaystyle n}$ even, is de som nul, maar voor oneven ${\displaystyle n}$ is deze gelijk aan een. Het is duidelijk dat de totale som dus niet goed gedefinieerd kan zijn.

Een ander bekend voorbeeld is de integraal

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x}$

Aangezien de functie ${\displaystyle 1/x}$ snel klein wordt, zou men kunnen hopen dat de bovenstaande integraal eindig is, maar dat is niet zo. Elementaire analyse geeft inderdaad dat

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x=\ln a}$

en dit is duidelijk onbegrensd voor ${\displaystyle a\rightarrow \infty }$.

Ook in de natuurkunde treedt divergentie op. Het behandelen van divergente uitdrukkingen in de veldentheorie is de verwezenlijking van de theorie van renormalisatie en regularisatie.

Een reeks die overduidelijk divergent lijkt, is :

${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$

De som kan natuurlijk nooit echt bepaald worden. Wel kan bij wijze van grapje het volgende 'bewezen' worden.

Eerst wordt de 'uitkomst' bepaald van ${\displaystyle 1-1+1-1+\ldots }$

Neemt men een even aantal termen, dan is de som 0; voor een oneven aantal is de som 1. Het lijkt dus redelijk om te stellen:

${\displaystyle 1-1+1-1+\ldots ={\tfrac {1}{2}}}$

Bepaal nu:

${\displaystyle S=1-2+3-4+\ldots }$.

Er geldt:

${\displaystyle 2S=1-2+3-4+\ldots +1-2+3-4+\ldots =1+(-2+1)+(3-2)+(-4+3)+\ldots =1-1+1-1+\ldots ={\tfrac {1}{2}}}$

dus

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}}$

Noem nu:

${\displaystyle S'=1+2+3+4+\ldots }$,

dan

${\displaystyle S'-S=1+2+3+4+\ldots -(1-2+3-4+\ldots )=4+8+12+\ldots =4S'}$.

Dus is:

${\displaystyle 3S'=-S=-{\tfrac {1}{4}}}$,

oftewel

${\displaystyle S'=1+2+3+4+\ldots =-{\tfrac {1}{12}}}$.

• Convergentie (Uitgebreidere en meer precieze uitleg)
• Divergente reeks
• regularisatie