Cauchy-hoofdwaarde

Voorbeeld 1

Van de oneigenlijke integraal ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x}$ heeft de integrand een singulariteit in het punt ${\displaystyle x=0}$. De integraal bestaat niet, aangezien

${\displaystyle \int _{-1}^{0}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\varepsilon \uparrow 0}\int _{-1}^{\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=-\lim _{\varepsilon \uparrow 0}\ln(|\varepsilon |)=-\infty }$

en

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\ln(|\varepsilon |)=\infty }$

De beide delen ${\displaystyle \int _{-1}^{\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=-\ln(|\varepsilon |)}$ en ${\displaystyle \int _{\varepsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\ln(|\varepsilon |)}$ zijn echter van tegengesteld teken en heffen elkaar op, zodat de Cauchy-hoofdwaarde gedefinieerd is:

${\displaystyle \mathrm {CH} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x=\lim _{\epsilon \downarrow 0}\left(\int _{-1}^{0-\epsilon }{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x+\int _{0+\epsilon }^{1}{\frac {1}{x}}\,{\rm {d}}x\right)=\lim _{\epsilon \downarrow 0}(\ln(|\epsilon |)-\ln(|\epsilon |))=0}$

Voorbeeld 2

De oneigenlijke integraal

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x}$

bestaat niet, want

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int _{0}^{A}{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=\lim _{A\to \infty }\int _{0}^{A}{\frac {1}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x^{2}=\int _{0}^{A^{2}}{\frac {1}{z+1}}{\rm {d}}z=\lim _{A\to \infty }\log(A^{2}+1)=\infty }$

en

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int _{-A}^{0}{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=-\lim _{A\to \infty }\int _{0}^{A}{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=-\lim _{A\to \infty }\log(A^{2}+1)=-\infty }$.

Omdat

${\displaystyle \int _{0}^{A}{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=\log(A^{2}+1)=-\int _{-A}^{0}{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x}$,

heffen de twee delen elkaar op en is de Cauchy-hoofdwaarde gelijk aan:

${\displaystyle \mathrm {CH} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}+1}}{\rm {d}}x=0}$

De Cauchy-hoofdwaarde kent op deze manier een zinvolle waarde toe aan een integraal die oneigenlijk noch als Riemannintegraal, noch als Lebesgue-integraal bestaat.

Er worden twee gevallen onderscheiden

Geval 1

Stel dat ${\displaystyle -\infty \leq a<c<b\leq \infty }$ en de functie ${\displaystyle f:(a,c)\cup (c,b)\to \mathbb {R} }$ Riemann-integreerbaar is. Als de limiet

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,{\rm {d}}x+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\right)}$

bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[1] van de integraal en schrijft daarvoor:

${\displaystyle \mathrm {CH} \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}$

Geval 2

Als ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ continu is, en de limiet

${\displaystyle \lim _{A\rightarrow \infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,{\rm {d}}x}$

bestaat, noemt men deze limiet de Cauchy-hoofdwaarde[2] en schrijft daarvoor:

${\displaystyle \mathrm {CH} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,{\rm {d}}x}$