Mertensfunctie

In getaltheorie is de Mertensfunctie de rekenkundige functie

${\displaystyle M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k)}$

waarin ${\displaystyle \mu (k)}$ de Möbiusfunctie is.

Omdat de Möbiusfunctie alleen de waarden –1, 0 en +1 aanneemt, is het overduidelijk dat de Mertensfunctie langzaam beweegt en dat er geen ${\displaystyle x}$ is zodat ${\displaystyle M(x)>x}$. Het vermoeden van Mertens gaat nog verder, bewerende dat er geen ${\displaystyle x}$ is waarbij de absolute waarde van de Mertensfunctie groter is dan de wortel van ${\displaystyle x}$. De onjuistheid van het vermoeden van Mertens was bewezen in 1985. Echter, de Riemannhypothese is equivalent aan een zwakker vermoeden van de groei van ${\displaystyle M(x)}$, namelijk

${\displaystyle M(x)=o(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })}$.

Omdat grote waarden van ${\displaystyle M}$ ten minste net zo hard groeien als de wortel van ${\displaystyle x}$, is dit een strikte grens op de groeivoet.