Buigpunt

In de analyse is een buigpunt van een kromme een punt op de kromme waar de kromming van aard verandert. De vorm van de kromme verandert namelijk van hol (concaaf) in bol (convex) of omgekeerd.

Karakterisering

Voorbeeld van een kromme met buigpunt

In een buigpunt stellen we de kromme lokaal voor door de functie $f.$ Is de kromme de grafiek van een functie dan geven we die ook door $f$ aan. In het buigpunt is $f$ in ieder geval differentieerbaar. Afhankelijk van de verdere differentieerbaarheid van $f$ in het buigpunt, laat zich een buigpunt als volgt karakteriseren:

in het buigpunt snijdt de raaklijn de kromme;
in het buigpunt bereikt de afgeleide van $f$ een extremum.

Als ook de tweede afgeleide bestaat kan deze laatste voorwaarde ook geformuleerd worden als:

in het buigpunt wisselt de tweede afgeleide van $f$ van teken (het teken van de tweede afgeleide geeft immers de kromming aan).

Een buigpunt kan een stationair punt op de grafiek van een functie zijn, maar in een buigpunt is een functie nooit extreem.

De bovenstaande karakteriseringen geven de weg aan waarlangs buigpunten opgespoord kunnen worden.

In het geval de functie voldoende vaak differentieerbaar is, is de eis dat het teken van de tweede afgeleide rond dit punt van teken wisselt, equivalent met de eis dat de eerste van 0 verschillende afgeleide van oneven orde moet zijn (derde, vijfde, ...). Indien de eerste van 0 verschillende afgeleide van even orde is (tweede, vierde, ...) dan is er geen buigpunt.

Voorbeelden

f(x)=\cos(x)

(rood)

f'(x)=-\sin(x)

(groen)

f''(x)=-\cos(x)

(blauw)

Voorbeeld 1

We zoeken de buigpunten van de functie $\cos(x)$ .

Op de figuur (rechts) is de functie samen met zijn eerste en tweede afgeleide weergegeven: $\cos(x)$ in het rood, $\cos '(x)$ in het groen en $\cos ''(x)$ in het blauw.

We bepalen de eerste en de tweede afgeleide

\cos '(x)=-\sin(x)

en

\cos ''(x)=-\cos(x)

We zien dat de nulpunten van $\cos(x)$ overeenkomen met de nulpunten van de tweede afgeleide.

De eerste afgeleide bereikt er telkens een extremum en heeft er ook een constant teken rond zodat we steeds een buigpunt hebben.

De nulpunten van de cosinus zijn dus ook de buigpunten (analoog bij de sinus, sinus hyperbolicus en cosinus hyperbolicus).

Voorbeeld 2

f(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-1

We zoeken de buigpunten van de functie

f(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-1

De functie is in het blauw weergeven in de figuur (rechts).

We bepalen de eerste en tweede afgeleide

f'(x)=3x^{2}+6x-3

en

f''(x)=6x+6

De tweede afgeleide is gelijk aan 0 voor $x=-1$ .

Het teken van de eerste afgeleide rond dit punt is constant, namelijk negatief, dus is het een buigpunt (rood in de figuur). Het is geen stationair punt, omdat de eerste afgeleide geen 0 is.

Voorbeeld 3

f(x)=x^{3}

(blauw)

f'(x)=3x^{2}

(rood)

Ten slotte bekijken we een klassiek voorbeeld: de functie $f(x)=x^{3}$ .

We bepalen opnieuw de eerste en de tweede afgeleide

f(x)=x^{3},\ f'(x)=3x^{2}

en

f''(x)=6x

De functie is in het blauw weergegeven in de figuur (rechts), samen met de eerste afgeleide (in het rood).

We zien dat de tweede afgeleide gelijk is aan 0 voor $x=0.$ Op de grafiek is duidelijk te zien dat het teken van de eerste afgeleide constant is rond dit punt, namelijk positief. Bijgevolg is er in de oorsprong een buigpunt.

Merk op dat ook de eerste afgeleide in dat punt 0 is, het is dus een stationair punt. De functie bereikt er echter geen extremum.

Zie ook

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.