Afbeelding (wiskunde)

In de wiskunde is het begrip afbeelding de verzamelingtheoretische interpretatie van het begrip functie. Omdat afbeeldingen gedefinieerd kunnen worden voor willekeurige verzamelingen, kan het begrip afbeelding ook gezien worden als een generalisatie van het begrip functie, dat gewoonlijk zo gedefinieerd is dat een functie altijd getallen als resultaat heeft.

Standaardnotatie voor "

\alpha

beeldt

x

af op

y

".

Informeel gesproken is een afbeelding een voorschrift dat aan ieder element van een verzameling een element uit een (andere) verzameling toevoegt. Zo'n toevoeging laat zien hoe sommige elementen uit een verzameling afhankelijk zijn van de elementen uit een andere (of dezelfde) verzameling. Omdat de wiskunde onder andere zulke afhankelijkheden onderzoekt, is een afbeelding een belangrijk basisbegrip.

Definitie

Een afbeelding $f$ is een tweeplaatsige relatie tussen twee verzamelingen $A$ en $B$ met de eigenschap dat aan ieder element $a\in A$ precies één element $b\in B$ , het beeld van $a$ , wordt gekoppeld. Men noteert de afbeelding als

f:A\to B

of ook als

A\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B

en het unieke element $b\in B$ dat door $f$ aan het element $a\in A$ wordt toegevoegd als $f(a)$ . De verzameling $A$ heet het domein (of definitiegebied) van $f$ ; de verzameling $B$ wordt wel het codomein genoemd. Met het bereik $f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ van $f$ wordt de deelverzameling van $B$ aangeduid die bestaat uit de beelden van de elementen van $A$ .

Een afbeelding is dus hetzelfde als een functie. De keuze van de term wordt soms bepaald door het soort afbeelding, zie onder. Zie ook onder bij "Volledige afbeelding".

Ruimere definitie

Soms wordt een afbeelding gedefinieerd als een partiële functie. Dat wil zeggen dat een afbeelding gedefinieerd is als een drietal $(G,A,B)$ waarvan $A$ en $B$ willekeurige verzamelingen zijn en $G$ een deelverzameling is van het cartesisch product $A\times B$ , met de eigenschap dat voor alle $a\in A$ en $b_{1},b_{2}\in B$ geldt:

als

(a,b_{1})\in G

en

(a,b_{2})\in G

dan is

b_{1}=b_{2}

.

Deze eis van functionaliteit betekent informeel dat alle elementen uit $A$ aan ten hoogste één element uit $B$ gekoppeld zijn.

Het drietal in de definitie wordt ook wel in een andere volgorde genoemd, namelijk als het drietal $(A,B,G)$ in plaats van $(G,A,B)$ .

Soms wordt een afbeelding simpelweg gedefinieerd als een verzameling geordende paren, overeenkomstig met $G$ uit de eerste definitie, waarbij voor alle paren $(a,b)$ en $(c,d)$ geldt dat als $a=c$ dan $b=d$ . Uit welke verzamelingen de leden van de geordende paren komen, moet in dat geval expliciet genoemd worden of uit de context blijken. Strikt genomen wordt in dit geval niet het begrip afbeelding gedefinieerd, maar het begrip afbeelding van ... naar ..., omdat een verzameling paren enkel een afbeelding is in de context van de verzamelingen waaruit de leden van de paren komen.[1] De verzameling { (1, 2), (2, 3), ... } is bijvoorbeeld wel een afbeelding van de natuurlijke getallen $\mathbb {N}$ naar $\mathbb {N}$ , maar niet een afbeelding van $\mathbb {N}$ naar de verzameling van meetkundige figuren. Deze verzameling is, met andere woorden, niet een afbeelding zonder meer.

Het belangrijkste verschil tussen deze definities komt aan het licht wanneer afbeeldingen op gelijkheid getoetst worden. Neem de afbeeldingen $\alpha =(G,X,Y)$ en $\beta =(G,X,Z)$ , waarbij $Y\neq Z$ . Het is evident dat in dit geval $\alpha \neq \beta$ , hoewel de verzameling geordende paren $G$ in beide afbeeldingen hetzelfde is. Onder de tweede definitie zouden dezelfde afbeeldingen echter als volgt gedefinieerd worden: $\alpha =G$ en $\beta =G$ , waaruit volgt dat $\alpha =\beta$ .

Terminologie

Als $\alpha =(G,A,B)$ een afbeelding is, wordt $G$ de grafiek van $\alpha$ genoemd. De verzameling $A$ heet het domein van $\alpha$ en $B$ het codomein van $\alpha$ . Men zegt ook dat $\alpha$ een afbeelding van $A$ naar $B$ is.

Als $(a,b)\in G$ , zegt men dat het toepassen van $\alpha$ op $a$ als resultaat $b$ heeft, of dat $a$ door $\alpha$ op $b$ afgebeeld wordt. Hierbij heet $b$ het beeld van $a$ onder $\alpha$ . Soms wordt van " $\alpha$ -beeld" of simpelweg "beeld" gesproken. Dit laatste enkel wanneer uit de context duidelijk is welke afbeelding bedoeld wordt.

Het beeld van deelverzamelingen van het domein, in plaats van elementen uit het domein, is ook gedefinieerd. Als $X\subseteq A$ , dan is

\{b\mid {\text{er is een }}x\in X{\text{ zodanig dat }}(x,b)\in G\}

het beeld van de verzameling $X$ . Met " $\alpha$ beeldt $X$ op $Y$ af" wordt ook in het geval van verzamelingen $X$ en $Y$ bedoeld dat $Y$ het beeld van $X$ is.

Als $b\in B$ , dan is

\{a\mid (a,b)\in G\}

het origineel van $B$ onder $\alpha$ . Soms wordt van " $\alpha$ -origineel" of simpelweg "origineel" gesproken. Parallel aan de definitie van "beeld", is het origineel niet alleen op elementen uit het codomein, maar ook op deelverzamelingen van het codomein gedefinieerd. Als $Y\subseteq B$ , dan is

\{a\mid {\text{er is een }}y\in Y{\text{ zodanig dat }}(a,y)\in G\}

het origineel van $Y$ .

De verzameling van alle elementen uit het domein die door $\alpha$ op een element uit het codomein afgebeeld worden,

\{a\mid {\text{er is een }}b\in B{\text{ zodanig dat }}(a,b)\in G\}

,

heet het definitiegebied van $\alpha$ . De elementen uit het definitiegebied worden de argumenten of originelen van $\alpha$ genoemd. Als $a$ een argument van $\alpha$ is, dan zegt met dat $\alpha$ is gedefinieerd in $a$ . Soms wordt "domein" gedefinieerd als het definitiegebied in plaats van als de verzameling $A$ .

De verzameling van alle elementen uit het codomein die een beeld zijn van een element uit het domein,

\{b\mid {\text{er is een }}a\in A{\text{ zodanig dat }}(a,b)\in G\}

,

heet de beeldverzameling of het bereik van $\alpha$ . Met "bereik" wordt soms echter ook het codomein bedoeld.

Merk op dat het beeld van het definitiegebied (en van het domein) de beeldverzameling van $\alpha$ is en dat het origineel van de beeldverzameling (en van het codomein) het definitiegebied van $\alpha$ is.

Notatie

Voor iedere afbeelding $\alpha$ geldt het volgende:

Het domein van $\alpha$ wordt genoteerd als $\mathrm {dom} \ \alpha$ .
Het codomein van $\alpha$ wordt genoteerd als $\mathrm {codom} \ \alpha$ .
Als $x$ een argument van $\alpha$ is, wordt het beeld van $x$ onder $\alpha$ genoteerd als $\alpha (x)$ of $\alpha x$ .
Als $X\subseteq \mathrm {dom} \ \alpha$ dan wordt het beeld van $X$ onder $\alpha$ genoteerd als $\alpha (X)$ of $\alpha X$ .
Als $Y\subseteq \mathrm {codom} \ \alpha$ , wordt het origineel van $Y$ onder $\alpha$ genoteerd als $\alpha ^{-1}(Y)$ of $\alpha ^{-1}Y$ .
Als $y\in \mathrm {codom} \alpha$ , wordt voor het origineel van $y$ onder $\alpha$ vaak de notatie $\alpha ^{-1}(y)$ gebruikt, als afkorting van $\alpha ^{-1}(\{y\})$ , maar daarmee kan, in het geval van injectieve afbeeldingen, ook het inverse beeld van $y$ onder $\alpha$ bedoeld worden.
De uitspraak " $\alpha$ is een afbeelding van $X$ naar $Y$ " wordt genoteerd als $\alpha :X\to Y$ . Dit betekent dat $X$ het domein van $\alpha$ is en $Y$ het codomein van $\alpha$ .
De uitspraak " $\alpha$ beeldt $x$ af op $y$ " wordt genoteerd als $\alpha :x\mapsto y$ . Als $x$ een ongebonden variabele is, betekent dit dat

\{(a,y[x=a])\mid a\in \mathrm {dom} \ \alpha {\text{ en }}y[x=a]\in \mathrm {codom} \ \alpha \}\subseteq G

,

waarbij $G$ de grafiek van $\alpha$ is en $y[x=a]$ het resultaat is van uniforme substitutie van $x$ door $a$ in $y$ . Deze notatie wordt vaak gebruikt om de grafiek van een afbeelding te definiëren. $f:x\mapsto x+1$ betekent bijvoorbeeld dat

\{(a,a+1)\mid a\in \mathrm {dom} \ f{\text{ en }}a+1\in \mathrm {codom} \ f\}

de grafiek van $f$ is. Hierbij wordt impliciet gelaten dat het in dit geval dus gaat om de kleinste grafiek van $f$ zodanig dat $f:x\mapsto x+1$ .

In plaats van " $\alpha :X\to Y$ en $\alpha :x\mapsto y$ " wordt soms " $\alpha :X\to Y:x\mapsto y$ " geschreven.

Voorbeeld

Ieder mens heeft een moeder. Aan elk mens kan zijn of haar moeder toegevoegd worden. Zo ontstaat een afbeelding, $M$ , die aan een mens zijn of haar moeder toevoegt. Dit wordt genoteerd als;

M:H\to V:\ h\mapsto {\text{moeder van }}h

,

waarin $H$ alle mensen bevat en $V$ alle vrouwen. Met $M(h)$ wordt 'de moeder van h' aangeduid, Zo is bijvoorbeeld ${\text{Maria }}=M({\text{Jezus}})$ , ${\text{Helena }}=M({\text{Alexander}})$ en ${\text{Juliana }}=M({\text{Beatrix}})$ , ${\text{Juliana }}=M({\text{Irene}})$ , ${\text{Juliana }}=M({\text{Margriet}})$ , ${\text{Juliana }}=M({\text{Christina}})$ . Een 'grafiek' van deze afbeelding is:

V	...
	Juliana				X	X	X	X
	Beatrix
	Irene
	Margriet
	Christina
	Helena			X
	Maria		X
	...
		...	Jezus	Alexander	Beatrix	Irene	Margriet	Christina	...
		H

Met een X zijn de toevoegingen aangegeven. Daaruit ziet men dat de afbeelding eigenlijk bepaald wordt door alle koppels $(h,M(h))$ voor $h\in H$ . Die koppels die de afbeelding betreffen, zijn een deel van alle koppels, d.w.z. van het cartesisch product $H\times V$ van $H$ en $V$ . Zo'n deelverzameling wordt in de wiskunde een relatie (tussen $H$ en $V$ genoemd. Bij de afbeelding "moeder van" is er bij een mens $h$ altijd maar één vrouw in $V$ die toegevoegd wordt aan $h$ . Die eigenschap geldt voor elke afbeelding. Een afbeelding is dus een speciale relatie. Een afbeelding kan zo formeel gedefinieerd worden in bekende termen uit de verzamelingenleer, zonder dat gebruikgemaakt wordt van termen als "voorschrift" en "toevoegen", die in de wiskunde (nog) geen betekenis hebben.

Meerplaatsige afbeeldingen

Een meerplaatsige afbeelding is, informeel gesproken, een afbeelding die meer dan één argument nodig heeft om zijn resultaat te bepalen. Een tweeplaatsige afbeelding neemt twee argumenten, een drieplaatsige afbeelding neemt er drie, enzovoort. Een nulplaatsige afbeelding is een constante. De afbeelding $\alpha :A\times B\times C\to D$ is bijvoorbeeld drieplaatsig.

Er is geen wezenlijk verschil tussen een eenplaatsige en een meerplaatsige afbeelding, want meerdere argumenten kunnen als tupel worden samengevoegd tot één argument. Wat dan overblijft is een onderscheid in notatie: met twee argumenten, zoals $\alpha (a,b)$ , of met één argument, $\alpha (c)$ met $c=(a,b)$ , of $\alpha ((a,b))$ . De notaties $\alpha (c)$ en $\alpha (a,b)$ kunnen, zolang dit geen verwarring geeft, ook door elkaar gebruikt worden, zodat de langere notatie $\alpha ((a,b))$ niet nodig is.

Als het domein een cartesisch product $A\times B$ is, dan worden $A$ en $B$ ook wel de domeinen van $\alpha$ genoemd. De overige terminologie past zich hierop aan. Men kan bijvoorbeeld zeggen dat $\alpha$ een tweeplaatsige afbeelding over $A$ en $B$ is.

Eigenschappen van afbeeldingen

Beschouw een willekeurige afbeelding $\alpha :A\to B$ .

$\alpha$ is volledig desda $\alpha$ op alle elementen in het domein gedefinieerd is. Dat wil zeggen dat er voor alle $a\in A$ een $b\in B$ is zodanig dat $b=\alpha (a)$ . Het definitiegebied van een volledige afbeelding is gelijk aan zijn domein: $\alpha ^{-1}(B)=A$ . Als $\alpha$ niet volledig is, dan heet $\alpha$ een partiële afbeelding. Soms wordt "partiële afbeelding" ook zo gedefinieerd dat alle afbeeldingen partieel genoemd kunnen worden en een volledige afbeelding een speciaal geval van een partiële afbeelding is.
$\alpha$ is surjectief desda alle elementen uit het codomein een beeld zijn van een element in het domein. Dat wil zeggen dat er voor alle $b\in B$ een $a\in A$ is zodanig dat $b=\alpha (a)$ . Het bereik van een surjectieve afbeelding is gelijk aan zijn codomein: $\alpha (A)=B$ .
$\alpha$ is injectief desda geen twee verschillende elementen uit het domein hetzelfde beeld hebben. Dat wil zeggen dat voor alle $a_{1},a_{2}\in A$ en $b\in B$ geldt: als $\alpha (a_{1})=b$ en $\alpha (a_{2})=b$ dan is $a_{1}=a_{2}$ . De combinatie van injectiviteit en functionaliteit wordt ook wel eeneenduidigheid genoemd. Omdat afbeeldingen per definitie functioneel zijn, zijn alle injectieve afbeeldingen eeneenduidig. Een injectieve afbeelding wordt soms een een-op-eenafbeelding genoemd.
$\alpha$ is bijectief desda $\alpha$ volledig, surjectief en injectief is. Een bijectieve afbeelding wordt soms een een-op-een-correspondentie genoemd.

Als er op zowel $A$ als $B$ een topologie gedefinieerd is, dan is ook de volgende eigenschap van $\alpha$ gedefinieerd:

$\alpha$ is continu desda het origineel van elke open deelverzameling van het codomein een open deelverzameling van het domein is. Dat wil zeggen dat voor elke $Y\subseteq B$ geldt: als $Y$ open is in $B$ , is $\alpha ^{-1}(Y)$ open in $A$ .

Deze eigenschappen zijn ook op meerplaatsige afbeeldingen gedefinieerd, waarbij met "domein" het volledige cartesische product bedoeld wordt. Een drieplaatsige afbeelding $\alpha :A\times B\times C\to D$ is bijvoorbeeld volledig desda er voor alle $(a,b,c)\in A\times B\times C$ een $d\in D$ is zodanig dat $d=\alpha (a,b,c)$ .

Operaties op afbeeldingen

Restrictie en extensie

Gegeven een willekeurige afbeelding $\alpha :A\to B$ en een deelverzameling van het domein $X\subseteq A$ is

\beta :X\to B

\beta :x\mapsto \alpha (x)

de restrictie van $\alpha$ tot $X$ .[2] Informeel gesproken is de restrictie van een afbeelding het resultaat van het inperken van zijn domein.

Als $\beta$ een restrictie van $\alpha$ is, dan heet $\alpha$ een extensie van $\beta$ .

Compositie of samenstelling

Gegeven twee willekeurige afbeeldingen $\alpha :A\to B$ en $\beta :B\to C$ is

\beta \circ \alpha :A\to C

\beta \circ \alpha :a\mapsto \beta (\alpha (a))

de compositie of samenstelling van $\alpha$ en $\beta$ .[3] Informeel betekent $c=(\beta \circ \alpha )(a)$ dat $c$ het resultaat is als eerst $\alpha$ op $a$ wordt toegepast, en op het resultaat daarvan $\beta$ wordt toegepast.

Voor alle afbeeldingen $\alpha :A\to B$ , $\beta :B\to C$ en $\gamma :C\to D$ geldt dat

(associativiteit)

(\gamma \circ \beta )\circ \alpha =\gamma \circ (\beta \circ \alpha )

.

Daarom wordt voor deze samenstelling meestal simpelweg $\gamma \circ \beta \circ \alpha$ geschreven.

Inverse

Als $\alpha =(G,A,B)$ een injectieve afbeelding is, en $G_{\text{inv}}=\{(b,a)\mid (a,b)\in G\}$ , dan is de afbeelding

\alpha ^{-1}=(G_{\text{inv}},B,A)

de inverse van $\alpha$ . Als $b=\alpha (a)$ , is $\alpha ^{-1}(b)=a$ .

Als $\alpha$ een volledige afbeelding is, kan, ter definitie, ook geschreven worden dat $\alpha ^{-1}:B\to A$ de inverse van $\alpha$ is, als voor alle $a\in A$ en $b\in B$ geldt:

\alpha ^{-1}(b)=a

desda

b=\alpha (a)

[4]

De inverse van $\alpha$ beeldt ieder element uit de beeldverzameling van $\alpha$ af op het element (uit het definitiegebied van $\alpha$ ) waarvan het een beeld is. Met andere woorden, als $\alpha$ $X$ afbeeldt op $Y$ , dan beeldt $\alpha ^{-1}$ $Y$ af op $X$ .

Als $a=\alpha ^{-1}(b)$ , dan wordt $a$ het inverse beeld van $b$ genoemd. Soms wordt hier ook op ambigue wijze van "het origineel van $b$ " gesproken, wat daarmee dan zowel de betekenis $a$ als $\{a\}$ heeft.

Wanneer enkel volledige afbeeldingen beschouwd worden, moet een afbeelding bijectief zijn om een (volledige) inverse te hebben.

Laat $\alpha$ een injectieve afbeelding zijn.

Het definitiegebied van $\alpha ^{-1}$ is de beeldverzameling van $\alpha$ .
De beeldverzameling van $\alpha ^{-1}$ is het definitiegebied van $\alpha$ .
Als $\alpha$ volledig is, dan is $\alpha ^{-1}$ surjectief.
Als $\alpha$ surjectief is, dan is $\alpha ^{-1}$ volledig.
De inverse $\alpha ^{-1}$ is injectief (omdat $\alpha$ functioneel is).
Als $\alpha$ bijectief is, dan is $\alpha ^{-1}$ ook bijectief.
$(\alpha ^{-1})^{-1}=\alpha$ .

Identieke afbeelding

Op iedere verzameling is een afbeelding te definiëren die elk element op zichzelf afbeeldt. Deze afbeelding heet de identieke afbeelding van die verzameling. De formele definitie luidt:

Voor een willekeurige verzameling $A$ is de afbeelding

\mathrm {id} _{A}:A\to A

met

\mathrm {id} _{A}(a)=a

de identieke afbeelding van $A$ .

Elke identieke afbeelding is bijectief.

Voor iedere injectieve afbeelding $\alpha :A\to B$ geldt:

als $\alpha$ volledig is, is $\alpha ^{-1}\circ \alpha =\mathrm {id} _{A}$ ;
als $\alpha$ surjectief is, is $\alpha \circ \alpha ^{-1}=\mathrm {id} _{B}$ .

Operatie

In sommige contexten wordt een afbeelding een operatie genoemd. Een operatie is dus hetzelfde als een afbeelding. Meestal — maar niet altijd — impliceert het gebruik van het woord "operatie" echter dat het domein en het codomein dezelfde verzamelingen zijn of, in het geval van $n$ -plaatsige operaties, dat het domein een $n$ -dimensionaal cartesisch product van het codomein is. Optellen en vermenigvuldigen van reële getallen zijn voorbeelden van operaties: $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

Het symbool waarmee een operatie aangeduid wordt, heet de operator en de argumenten van een operatie worden operanden genoemd. Bij tweeplaatsige operaties wordt de operator gewoonlijk tussen de operanden in geschreven. Dit heet infixnotatie. Met name bij tweeplaatsige operaties heeft de term "operatie" ook een algebraïsche connotatie. Men spreekt bijvoorbeeld van associatieve en commutatieve operaties of definieert op algebraïsche wijze equivalentie tussen uitdrukkingen met bepaalde operaties erin.

Optelling is een voorbeeld van een operatie op getallen. Deze operatie wordt doorgaans als tweeplaatsige operatie gedefinieerd en de gebruikelijke operator + wordt normaal gesproken dan ook tussen de operanden in geschreven.

In dit artikel staan ook enkele voorbeelden beschreven van operaties op afbeeldingen. Zo is compositie een tweeplaatsige operatie op afbeeldingen, met ∘ als operator. Het bepalen van de inverse van een afbeelding is een eenplaatsige operatie op afbeeldingen en het symbool $^{-1}$ kan opgevat worden als een operator die in suffixnotatie geschreven wordt.

Volledige afbeelding

Het komt veel voor dat alleen volledige afbeeldingen beschouwd worden en het wenselijk geacht wordt dat afbeelding als zodanig gedefinieerd wordt. Vaak wordt dan een extra voorwaarde aan de definitie toegevoegd, wat de volgende definitie oplevert.

Voor willekeurige verzamelingen A en B is α = (G, A, B) een afbeelding desda:

G ⊆ A × B
(functionaliteit) Voor alle a ∈ A en b₁, b₂ ∈ B geldt: als (a, b₁) ∈ G en (a, b₂) ∈ G dan b₁ = b₂
(volledigheid) Voor alle a ∈ A is er een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G.

Een ander gangbaar alternatief is de volgende definitie.

Voor een willekeurige verzameling B is α = (G, B) een afbeelding desda:

G is een willekeurige verzameling geordende paren, waarbij voor alle (a, b) ∈ G geldt dat b ∈ B
(functionaliteit) Voor alle (a₁, b₁) ∈ G en (a₂, b₂) ∈ G geldt: als a₁ = a₂ dan b₁ = b₂.

Onder deze definitie is het vervolgens gebruikelijk om het domein te definiëren als de verzameling van alle punten waarop de afbeelding gedefinieerd is: dom α = { a | er is een b ∈ B zodanig dat (a, b) ∈ G }. Daarmee is de afbeelding per definitie op alle elementen uit het domein gedefinieerd en dus volledig. "Definitiegebied" en "domein" zijn in deze lezing synoniem. Wanneer het domein aldus gedefinieerd wordt, moet expliciet genoemd worden of uit de context blijken uit welke verzameling de linker leden van de paren in G komen.

Onder beide definities is het niet mogelijk om van een partiële afbeelding te spreken, aangezien afbeeldingen per definitie volledig zijn. Meestal wordt dit opgelost door partiële afbeelding apart te definiëren, op ongeveer dezelfde wijze als afbeelding in dit artikel gedefinieerd is. In dat geval is een afbeelding dus een specifiek geval van een partiële afbeelding, in plaats van andersom, en is het zinnig om van een volledige partiële afbeelding te spreken. Partiële afbeelding kan ook in engere zin gedefinieerd worden, zodanig dat partiële afbeeldingen per definitie niet volledig zijn en de begrippen (volledige) afbeelding en partiële afbeelding dus disjunct zijn. In dat geval is er echter geen intuïtieve overkoepelende term die zowel partiële als volledige afbeeldingen omvat.[5]

De overige begrippen en notaties worden onder deze definities, mutatis mutandis, op dezelfde manier gedefinieerd als eerder in dit artikel. Ook kan de volgorde van de leden van het tupel in de laatste definitie, net als het 3-tupel bij de eerdere definities, afwijken. Soms wordt de afbeelding als het tupel (B, G) gedefinieerd, in plaats van als het tupel (G, B).

Een andere in de literatuur gebruikte manier om het onderwerp te beperken tot volledige afbeeldingen, is door een zin toe te voegen als:

Met "afbeelding" zal een volledige afbeelding bedoeld worden, tenzij uit de context anders blijkt.

Afbeeldingen kunnen dan in algemene, brede zin gedefinieerd worden, terwijl ze toch impliciet volledig zullen zijn. Desgewenst kan op deze manier over partiële afbeeldingen gesproken worden, door ze expliciet zo te noemen. Bovendien is een partiële afbeelding in dit geval een specifiek geval van een afbeelding, in plaats van andersom.

Afbeelding versus functie

Gewoonlijk onderscheidt de afbeelding zich van de functie doordat de afbeelding een fundamenteler (en jonger) begrip is. Functies zijn in deze lezing een speciaal soort afbeeldingen, namelijk afbeeldingen die getallen opleveren of, preciezer geformuleerd, afbeeldingen waarvan het codomein een lichaam (ook wel veld) is.

Vaak worden "functie" en "afbeelding" echter ook als synoniemen gebruikt. Meestal worden beide dan in verzamelingtheoretische termen gedefinieerd, min of meer gelijk aan de definitie in dit artikel.

Het komt ook voor dat "functie" en "afbeelding" niet synoniem zijn, maar dat de functie gedefinieerd wordt zoals de afbeelding in dit artikel en dat met "afbeelding" een specifiek soort functie bedoeld wordt. In deze lezing kan met "afbeelding" onder andere volledige functie, volledige en injectieve functie, lineaire functie of continue functie bedoeld worden. Dit gebruik van de woorden "functie" en "afbeelding" is vooral in de Angelsaksische literatuur gebruikelijk.

Zie ook

Poincaré-afbeelding

Voetnoten

Ook eigenschappen als volledigheid en surjectiviteit (zie Eigenschappen van afbeeldingen) zijn enkel te definiëren in deze context.
$\alpha (x)$ is enkel voor alle $x\in X$ gedefinieerd als $X$ een deelverzameling van het definitiegebied van $\alpha$ is of, meer in het bijzonder, als $\alpha$ volledig is. Als $\alpha$ niet voor alle $x\in X$ gedefinieerd is, dan is de gegeven definitie van $\beta$ niet zinnig. Een manier om de restrictie van $\alpha$ tot $X$ te definiëren die wel in alle gevallen zinnig is, is als volgt. Als $G$ de grafiek van de afbeelding $\alpha$ is, dan is $\beta =(R,X,B)$ de restrictie van $\alpha$ tot $X$ , waarbij $R=G\cap (X\times B)$ .
$\beta (\alpha (a))$ is enkel voor alle $a\in A$ gedefinieerd als $\alpha$ volledig is en de beeldverzameling van $\alpha$ een deelverzameling van het definitiegebeid van $\beta$ is of, meer in het bijzonder, als zowel $\alpha$ als $\beta$ volledig zijn. Als $\beta (\alpha (a))$ niet voor alle $a\in A$ gedefinieerd is, dan is de gegeven definitie niet zinnig. Een manier om de compositie van $\alpha$ en $\beta$ te definiëren die wel in alle gevallen zinnig is, is als volgt. Als $G_{\alpha }$ de grafiek van $\alpha$ is en $G_{\beta }$ de grafiek van $\beta$ , dan is $\beta \circ \alpha =(G,A,C)$ de compositie of samenstelling van $\alpha$ en $\beta$ , waarin $G=\{(a,c)\mid {\text{ er is een }}b\in B{\text{ zodanig dat }}(a,b)\in G_{\alpha }{\text{ en }}(b,c)\in G_{\beta }\}$ .
Deze definitie is alleen zinnig als $\alpha$ volledig is, omdat anders $\alpha$ niet in alle $a\in A$ gedefinieerd is.
"Functionele tweeplaatsige relatie" zou als overkoepelende term gebruikt kunnen worden, maar heeft door het woord "relatie" een andere connotatie.

Bronnen

(en) Bourbaki, Nicolas, Elements of the History of Mathematics. Springer (1994).
(en) Lucas, J. R., Conceptual Roots of Mathematics. Routledge (1999).
(en) Mapping op planetmath.org. Geraadpleegd op 15 januari 2009.
(en) Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag. Geraadpleegd op 15 januari 2009.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Ook eigenschappen als volledigheid en surjectiviteit (zie Eigenschappen van afbeeldingen) zijn enkel te definiëren in deze context.

[2] $\alpha (x)$ is enkel voor alle $x\in X$ gedefinieerd als $X$ een deelverzameling van het definitiegebied van $\alpha$ is of, meer in het bijzonder, als $\alpha$ volledig is. Als $\alpha$ niet voor alle $x\in X$ gedefinieerd is, dan is de gegeven definitie van $\beta$ niet zinnig. Een manier om de restrictie van $\alpha$ tot $X$ te definiëren die wel in alle gevallen zinnig is, is als volgt. Als $G$ de grafiek van de afbeelding $\alpha$ is, dan is $\beta =(R,X,B)$ de restrictie van $\alpha$ tot $X$ , waarbij $R=G\cap (X\times B)$ .

[3] $\beta (\alpha (a))$ is enkel voor alle $a\in A$ gedefinieerd als $\alpha$ volledig is en de beeldverzameling van $\alpha$ een deelverzameling van het definitiegebeid van $\beta$ is of, meer in het bijzonder, als zowel $\alpha$ als $\beta$ volledig zijn. Als $\beta (\alpha (a))$ niet voor alle $a\in A$ gedefinieerd is, dan is de gegeven definitie niet zinnig. Een manier om de compositie van $\alpha$ en $\beta$ te definiëren die wel in alle gevallen zinnig is, is als volgt. Als $G_{\alpha }$ de grafiek van $\alpha$ is en $G_{\beta }$ de grafiek van $\beta$ , dan is $\beta \circ \alpha =(G,A,C)$ de compositie of samenstelling van $\alpha$ en $\beta$ , waarin $G=\{(a,c)\mid {\text{ er is een }}b\in B{\text{ zodanig dat }}(a,b)\in G_{\alpha }{\text{ en }}(b,c)\in G_{\beta }\}$ .

[4] Deze definitie is alleen zinnig als $\alpha$ volledig is, omdat anders $\alpha$ niet in alle $a\in A$ gedefinieerd is.

[5] "Functionele tweeplaatsige relatie" zou als overkoepelende term gebruikt kunnen worden, maar heeft door het woord "relatie" een andere connotatie.