Ondergroep (wiskunde)

• Een deelverzameling ${\displaystyle H\subseteq G}$ is een ondergroep van de groep ${\displaystyle G}$ dan en slechts dan als ${\displaystyle H}$ niet-leeg is en gesloten onder vermenigvuldiging en inverses. (Dit houdt in: dat met ${\displaystyle a,b\in H}$ ook ${\displaystyle ab\in H}$ en ${\displaystyle a^{-1}\in H}$. Of korter: met ${\displaystyle a,b\in H}$ is ook ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$.)
• Als ${\displaystyle H}$ eindig is, dan is ${\displaystyle H}$ een ondergroep dan en slechts dan als met ${\displaystyle H}$ gesloten is onder vermenigvuldiging. In dit geval genereert elk element ${\displaystyle a\in H}$ een eindige cyclische ondergroep van ${\displaystyle H}$, en is de inverse van ${\displaystyle a}$ gelijk aan ${\displaystyle a^{-1}=a^{n-1}}$, waarin ${\displaystyle n}$ de orde is van ${\displaystyle a}$.
• Alternatief geldt dat een deelverzameling ${\displaystyle H\subseteq G}$ een ondergroep van de groep ${\displaystyle G}$ is dan en slechts dan als er een inbeddingshomomorfisme ${\displaystyle i:H\to G;i(a)=a}$ bestaat.
• Het neutrale element van een ondergroep is hetzelfde als het neutrale element van de groep.
• De inverse van een element in een ondergroep is gelijk aan de inverse van het element in de groep.
• De doorsnede van twee ondergroepen is ook een ondergroep.
• De vereniging van de ondergroepen is alleen dan een ondergroep in het triviale geval dat een van beide ondergroepen de andere omvat.
• Voor een deelverzameling ${\displaystyle S\subseteq G}$ bestaat er een kleinste ondergroep die ${\displaystyle S}$ omvat. Deze kleinste ondergroep is de doorsnede van alle ondergroepen die ${\displaystyle S}$ omvatten. Deze kleinste ondergroep wordt aangeduid met ${\displaystyle \langle S\rangle }$ en wordt de door ${\displaystyle S}$ voortgebrachte ondergroep genoemd. Een element van ${\displaystyle G}$ is dan en slechts dan in ${\displaystyle \langle S\rangle }$ als het een eindig product is van elementen van ${\displaystyle S}$ en hun inverses.
• Elk element ${\displaystyle a}$ van een groep ${\displaystyle G}$ genereert een cyclische ondergroep ${\displaystyle \langle a\rangle }$. Als er een positief geheel getal ${\displaystyle n}$is zodanig dat ${\displaystyle \langle a\rangle }$ isomorf is met ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, dan is ${\displaystyle n}$ het kleinste positieve gehele getal waarvoor ${\displaystyle a^{n}=e}$ en wordt ${\displaystyle n}$ de orde van ${\displaystyle a}$ genoemd. Is ${\displaystyle \langle a\rangle }$ isomorf met ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, dan zegt men dat ${\displaystyle a}$ van een oneindige orde is.
• De ondergroepen van een groep vormen onder inbedding een volledige tralie die de tralie van ondergroepen wordt genoemd.

Laat ${\displaystyle G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}}$ een abelse groep zijn met als groepsoperatie de optelling modulo acht. De Cayley tabel van de groep is

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Deze groep heeft een paar niet-triviale ondergroepen: ${\displaystyle J=\{0,4\}}$ (oranje) en ${\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}$ (rood). De ondergroep ${\displaystyle J}$ is ook een ondergoep van ${\displaystyle H}$. De Cayley-tabel voor ${\displaystyle H}$ bestaat uit het linkerboven kwadrant van de Cayley tabel voor ${\displaystyle G}$. De groep ${\displaystyle G}$ en de ondergroepen zijn cyclische groepen. In het algemeen zijn ondergroepen van cyclische groepen ook cyclisch.

• Nevenklasse