Normaaldeler

Zij ${\displaystyle (G,\cdot )}$ een groep, en ${\displaystyle D}$ een ondergroep van ${\displaystyle G}$. Men zegt dat ${\displaystyle D}$ een normaaldeler is van ${\displaystyle G}$ als voor alle elementen ${\displaystyle g\in G}$ en ${\displaystyle d\in D}$ geldt

${\displaystyle g^{-1}\cdot d\cdot g\in D}$

Men noteert dit vaak als:

${\displaystyle D\triangleleft G}$

Men schrijft ook wel

${\displaystyle g^{-1}\cdot D\cdot g\subset D,}$

waarin

${\displaystyle g^{-1}\cdot D\cdot g=\left\{g^{-1}\cdot d\cdot g\mid d\in D\right\}}$

Van een abelse groep is elke deelgroep normaal, want

${\displaystyle g^{-1}\cdot d\cdot g=g^{-1}\cdot g\cdot d=e\cdot d=d}$.

Algemener is het centrum ${\displaystyle Z(G)}$ van een groep ${\displaystyle G}$, dat zijn de elementen die met ieder ander element commuteren, een normaaldeler van ${\displaystyle G}$. Ook elke ondergroep van ${\displaystyle Z(G)}$ is normaal in ${\displaystyle G}$.

In de permutatiegroep op een eindige verzameling met ${\displaystyle n}$ elementen vormen de even permutaties een normaaldeler, de zogenaamde alternerende groep ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$.

De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutraal element. Het is steeds een normaaldeler.

In de permutatiegroep ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{3}}$ is de ondergroep ${\displaystyle \left\{{\hbox{id}},(12)\right\}}$ (de cyclische ondergroep van twee elementen, voortgebracht door de verwisseling van 1 en 2) geen normaaldeler, omdat ${\displaystyle (13)(12)(13)=(23)}$

De alternerende groep ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{5}}$ heet enkelvoudig (of "simpel") omdat hij geen enkele echte normaaldeler heeft (geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf).

In de Lie-groep ${\displaystyle SO(3)}$ der rotaties in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ vormen de rotaties om de ${\displaystyle z}$-as een ondergroep die niet normaal is. De Lie-groep ${\displaystyle SO(3)}$ is enkelvoudig, omdat hij geen echte Lie-ondergroepen heeft die normaal zijn.

In de groep ${\displaystyle GL(n,K)}$ van de inverteerbare ${\displaystyle n\times n}$-matrices over een lichaam ${\displaystyle K}$, is de Speciale lineaire groep ${\displaystyle SL(n,K)}$ van de matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is eigenlijk een bijzonder geval van een hogergenoemde regel, want de determinant-afbeelding kan worden opgevat als een groepshomomorfisme.

De normalisator van een ondergroep ${\displaystyle D}$ van de groep ${\displaystyle G}$ is gedefinieerd als

${\displaystyle N(D)=\{g\in G\mid g\cdot D=D\cdot g\}}$

Het is de grootste ondergroep van ${\displaystyle G}$ waarin ${\displaystyle D}$ nog normaal is.