Nuldeler

Een element ${\displaystyle a\neq 0}$ van een ring ${\displaystyle R}$ heet een linker nuldeler als er een ${\displaystyle b\in R,b\neq 0}$, zo, dat ${\displaystyle ab=0.}$

Analoog heet ${\displaystyle a}$ een rechter nuldeler als er een ${\displaystyle b\in R,b\neq 0}$, zo, dat ${\displaystyle ba=0.}$

Is ${\displaystyle a}$ zowel een linker als een rechter nuldeler, dan heet a nuldeler.

• De ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ van de gehele getallen heeft geen nuldelers.
• Bij het modulair rekenen vormen de getallen ${\displaystyle {\overline {n}}=\{0,1,\ldots ,n-1\}}$ een ring. Als ${\displaystyle n}$ een priemgetal of een macht van een priemgetal is, is ${\displaystyle {\overline {n}}}$ zelfs een lichaam/veld en zijn er geen nuldelers. In alle andere gevallen zijn de echte delers van ${\displaystyle n}$ nuldelers. Modulo 12 bijvoorbeeld zijn de getallen 2, 3, 4 en 6 echte delers van 12 en dus nuldelers: ${\displaystyle 2\times 6=3\times 4=0{\pmod {12}}}$
• Een voorbeeld van een nuldeler in de ring van de 2×2-matrices is de matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}}$

omdat bijvoorbeeld

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.}$

• Meer in het algemeen vallen in de ring van ${\displaystyle n\times n}$-matrices over een willekeurig lichaam/veld de linker en rechter nuldelers samen; zij zijn precies de niet-nulzijnde singuliere matrices. In de ring van de ${\displaystyle n\times n}$-matrices over een willekeurig integriteitsdomein zijn de nuldelers precies de niet-nulzijnde matrices met determinant nul.
• De onderstaande ring bevat met elementen die slechts eenzijdige nuldelers zijn. Laat ${\displaystyle S}$ de verzameling zijn van rijen gehele getallen ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ).}$ Neem voor de ring alle additieve afbeeldingen van ${\displaystyle S}$ op ${\displaystyle S}$, met puntsgewijze optelling en compositie als de ringbewerkingen. De ring is dus ${\displaystyle \mathrm {End} (S)}$, de endomorfismen van de additieve groep ${\displaystyle S.}$ Drie elementen in deze ring zijn de rechtsverschuiving ${\displaystyle R(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=(0,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ),}$ de linksverschuiving ${\displaystyle L(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=(a_{2},a_{3},\ldots ),}$ en een projectie ${\displaystyle T(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=(a_{1},0,0,\ldots ).}$ Al deze drie additieve afbeeldingen zijn ongelijk aan nul, maar de composities ${\displaystyle LT}$ en ${\displaystyle TR}$ zijn beide nul, zodat ${\displaystyle L}$ een linker nuldeler en ${\displaystyle R}$ een rechter nuldeler is in de ring van de additieve afbeeldingen ${\displaystyle S}$ op ${\displaystyle S}$. De afbeelding ${\displaystyle L}$ is echter geen rechter nuldeler en ${\displaystyle R}$ geen linker nuldeler. De compositie ${\displaystyle LR}$ is de identiteit, en als dus een willekeurige additieve afbeelding ${\displaystyle f}$ van ${\displaystyle S}$ op ${\displaystyle S}$ voldoet aan ${\displaystyle fL=0,}$ dan volgt ${\displaystyle 0=(fL)R=f(LR)=f1=f}$ en op dezelfde wijze volgt uit ${\displaystyle Rf=0}$ dat ${\displaystyle f=0.}$
• In het vorige voorbeeld is ${\displaystyle RL}$ een linker nuldeler, want ${\displaystyle (RL)T=R(LT)=0,}$ omdat ${\displaystyle LT=0,}$ maar ${\displaystyle RL}$ noch een linker, noch een rechter nuldeler is, omdat ${\displaystyle RL=1.}$
  De additieve afbeeldingen van ${\displaystyle S}$ naar ${\displaystyle S}$ kunnen voorgesteld worden als aftelbaar oneindige matrices. De matrix

${\displaystyle \quad A={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&\\0&0&1&0&0&\cdots \\0&0&0&1&0&\\0&0&0&0&1&\\&&\vdots &&&\ddots \end{pmatrix}}}$

bijvoorbeeld stelt de afbeelding ${\displaystyle L}$ voor en de getransponeerde matrix ${\displaystyle B=A^{T}}$ de rechtsverschuiving ${\displaystyle R.}$ Dat ${\displaystyle AB}$ de eenheidsmatrix is, is hetzelfde als te zeggen dat ${\displaystyle LR}$ de identiteit is. De matrix ${\displaystyle A}$ is een linker nuldeler, maar niet een rechter nuldeler.

Linker en rechter nuldelers kunnen geen eenheid zijn. Immers, als ${\displaystyle a}$ een eenheid is, dan is ${\displaystyle ba=ab=b\neq 0}$ voor alle ${\displaystyle b\neq 0.}$

Elke idempotente ${\displaystyle a\neq 0,a\neq 1}$ is een nuldeler, aangezien ${\displaystyle a^{2}=a}$, dus ${\displaystyle a(a-1)=(a-1)a=0.}$ Nilpotente ringelementen ongelijk aan 0 zijn trivialerwijze nuldelers.

Een commutatieve ring met eenheidselement ongelijk aan 0 en zonder nuldelers wordt een integriteitsdomein genoemd.

Nuldelers komen ook voor onder de sedenionen, de 16-dimensionale hypercomplexe getallen onder de Cayley-Dickson-constructie.

• Integriteitsdomein
• Nul-product eigenschap