Getransponeerde matrix

De getransponeerde matrix van een ${\displaystyle m\times n}$-matrix ${\displaystyle A}$ is de ${\displaystyle n\times m}$-matrix ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ gedefinieerd door:

${\displaystyle A_{ij}^{\text{T}}=A_{ji}}$ voor ${\displaystyle 1\leq i\leq n,\quad 1\leq j\leq m.}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$

Voor de matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B,}$ en de scalair ${\displaystyle c}$ gelden de volgende eigenschappen van de transpositie-operatie:

1. ${\displaystyle (A^{\text{T}})^{\text{T}}=A}$

   De getransponeerde matrix van een getransponeerde matrix is de oorspronkelijke matrix. Transponeren is een involutie (een operatie die haar eigen inverse is).

2. ${\displaystyle (A+B)^{\text{T}}=A^{\text{T}}+B^{\text{T}}}$

   Transponeren behoudt optelling.

3. ${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$

   Merk op dat de volgorde van de factoren omdraait. Hieruit kan afgeleid worden dat een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is dan en slechts dan als ${\displaystyle A^{\text{T}}}$ inverteerbaar is, en in dat geval is ${\displaystyle (A^{-1})^{\text{T}}=(A^{\text{T}})^{-1}.}$ Het is relatief eenvoudig om dit resultaat uit te breiden naar het algemenere geval van meer dan twee matrices; dan geldt ${\displaystyle (AB\ldots C)^{\text{T}}=C^{\text{T}}\ldots B^{\text{T}}A^{\text{T}}.}$

4. ${\displaystyle (cA)^{\text{T}}=cA^{\text{T}}}$

   De getransponeerde van een scalair is dezelfde scalair. Samen met (2) volgt daaruit dat transponeren een lineaire afbeelding is van de ruimte van ${\displaystyle m\times n}$-matrices naar de ruimte van alle ${\displaystyle n\times m}$-matrices.

5. ${\displaystyle \det(A^{\text{T}})=\det(A)}$

   De determinant van een vierkante matrix is gelijk aan de determinant van zijn getransponeerde matrix.

6. Het inwendig product van twee kolomvectoren ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ kan worden berekend als

   ${\displaystyle a\cdot b=a^{\mathrm {T} }b}$

7. Als de matrix ${\displaystyle A}$ alleen reële elementen heeft, dan is ${\displaystyle A^{\text{T}}A}$ een positief-semidefiniete matrix.
8. Als ${\displaystyle A}$ een matrix is over een lichaam/veld, dan is ${\displaystyle A}$ gelijksoortig met ${\displaystyle A^{\text{T}}.}$
9. ${\displaystyle (A^{\text{T}})^{-1}=(A^{-1})^{\text{T}}}$

   Voor een inverteerbare matrix ${\displaystyle A}$ is de getransponeerde matrix van de inverse de inverse van de getransponeerde.

10. Als ${\displaystyle A}$ een vierkante matrix is, dan zijn de eigenwaardes gelijk aan de eigenwaardes van zijn getransponeerde.

Een vierkante matrix die gelijk is aan zijn getransponeerde wordt een symmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat ${\displaystyle A}$ symmetrisch is als geldt

${\displaystyle A^{\text{T}}=A}$

Een vierkante matrix waarvan getransponeerde ook zijn inverse is, wordt een orthogonale matrix genoemd; dat wil zeggen dat de matrix ${\displaystyle G}$ orthogonaal is als geldt

${\displaystyle GG^{\text{T}}=G^{\text{T}}G=I}$ (de eenheidsmatrix),

dus

${\displaystyle G^{\text{T}}=G^{-1}=I}$

en de kolommen van ${\displaystyle G}$ zijn orthonormaal.

Een vierkante matrix die gelijk is aan de tegengestelde van zijn getransponeerde matrix, wordt een antisymmetrische matrix genoemd; dat wil zeggen dat de matrix ${\displaystyle A}$ antisymmetrisch is als geldt

${\displaystyle A^{\text{T}}=-G}$

De geconjugeerde getransponeerde matrix ${\displaystyle A^{*}}$ van de complexe matrix ${\displaystyle A}$ wordt verkregen door de getransponeerde te nemen van ${\displaystyle A}$ en de complex geconjugeerde van elk matrixelement:

${\displaystyle A^{*}={\overline {A}}^{\text{T}}={\overline {A^{\text{T}}}}}$

waarin de streep de complex geconjugeerde aanduidt.