Endomorfisme

In de wiskunde is een endomorfisme een morfisme (of een homomorfisme) van een wiskundig object op zichzelf, dat de structuur van dat object behoudt, Een endomorfisme van een vectorruimte ${\displaystyle V}$ is bijvoorbeeld een lineaire afbeelding ${\displaystyle f:V\to V}$ en een endomorfisme van een groep ${\displaystyle G}$ is een groepshomomorfisme ${\displaystyle f:G\to G,}$ enz. In het algemeen kan men spreken over endomorfismen in elke willekeurige categorie. In de categorie van verzamelingen zijn endomorfismen simpelweg functies van een verzameling ${\displaystyle S}$ op zichzelf.

In elke willekeurige categorie is de samengestelde functie van twee willekeurige endomorfismen van ${\displaystyle X}$ opnieuw een endomorfisme van ${\displaystyle X.}$ Hieruit volgt dat de verzameling van alle endomorfismen van ${\displaystyle X}$ een monoïde vormen, die wordt aangeduid met ${\displaystyle \mathrm {End} (X)}$ (of ${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathcal {C}}(X),}$ dit om de categorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ te benadrukken).

Een inverteerbaar, bijectief endomorfisme van ${\displaystyle X}$ , oftewel een endomorfisme dat tevens een isomorfisme is, wordt een automorfisme genoemd. De verzameling van alle automorfismen is een deelgroep van ${\displaystyle \mathrm {End} (X),}$ die de automorfismegroep van ${\displaystyle X}$ wordt genoemd en die wordt aangeduid met ${\displaystyle \mathrm {Aut} (X)}$ . In het onderstaande diagram geven de pijlen de implicatie aan:

automorfisme	${\displaystyle \Rightarrow }$	isomorfisme
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$
endomorfisme	${\displaystyle \Rightarrow }$	(homo)morfisme

Twee endomorfismen van een Abelse groep ${\displaystyle A}$ kunnen bij elkaar worden opgeteld omdat ${\displaystyle (f+g)(a)=f(a)+g(a).}$ De endomorfismen van een Abelse groep vormen dus een ring (de endomorfe ring). Zo is bijvoorbeeld de verzameling van de endomorfismen van ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ de ring van alle ${\displaystyle n\times n}$ -matrices met in de cellen gehele getallen. De endomorfismen van een vectorruimte, module, ring of algebra vormen ook een ring, net zoals de endomorfismen van enig object in een pre-additieve categorie. De endomorfismen van een niet-abelse groep genereren een algebraïsche structuur die bekendstaat als een bijna-ring.