Normale matrix

Een vierkante matrix ${\displaystyle A}$ over de complexe getallen heet normaal als hij met zijn hermitisch toegevoegde ${\displaystyle A^{*}}$ commuteert:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$

De hermitisch toegevoegde matrix ${\displaystyle A^{*}}$ heeft als elementen de complex geconjugeerde van de getransponeerde matrix van ${\displaystyle A.}$

Alle complexe veelvouden van de eenheidsmatrix zijn normaal, ze commuteren immers met alle matrices.

Elke Hermitische matrix is normaal. De definiërende voorwaarde is namelijk ${\displaystyle A^{*}=A}$ Om dezelfde reden zijn anti-Hermitische matrices (${\displaystyle A^{*}=-A}$) normaal. Reële symmetrische (respectievelijk antisymmetrische) matrices zijn hiervan bijzondere gevallen.

Elke unitaire matrix is normaal. Unitariteit wordt gedefinieerd door de voorwaarde ${\displaystyle A^{*}A=I.}$ Door van beide leden de hermitisch toegevoegde te nemen, wordt dit ${\displaystyle AA^{*}=I.}$ Onder de reële matrices zijn dit de orthogonale matrices.

Er bestaan ook normale matrices die niet tot een van deze bijzondere klassen behoren, bijvoorbeeld

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

is normaal omdat

${\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}},\ AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A}$

De klasse der normale matrices is niet gesloten voor de optelling, noch voor het product van matrices. Als evenwel twee normale matrices ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ commuteren, dan zijn hun som en product eveneens normaal. Dit doet zich voor als ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ gelijktijdig diagonaliseerbaar zijn, dat wil zeggen dat ze in de context van de spectraalstelling (zie hieronder) gediagonaliseerd worden door eenzelfde unitaire matrix.

Een reële matrix ${\displaystyle A}$ is normaal dan en slechts dan als hij met zijn getransponeerde commuteert:

${\displaystyle A^{\text{T}}A=AA^{\text{T}}}$

Spectraalstelling: een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als hij unitair equivalent is met een diagonaalmatrix, dit wil zeggen dat hij door een geschikte complexe rotatie van de basisvectoren, overgaat in een diagonaalmatrix. In symbolen: ${\displaystyle A}$ is dan en slechts dan normaal als er een diagonaalmatrix ${\displaystyle D}$ en een unitaire matrix ${\displaystyle U}$ bestaan, zodanig dat ${\displaystyle A=U^{-1}DU.}$

Voor een reële normale matrix kan dit een complexe rotatie naar niet-reële basisvectoren zijn. De kolommen van ${\displaystyle U^{-1}}$ zijn de eigenvectoren van ${\displaystyle A.}$

Een complexe matrix is dan en slechts dan normaal als zijn eigenvectoren loodrecht op elkaar staan. Hierbij wordt loodrechte stand geïnterpreteerd in termen van het standaard hermitische inproduct op de complexe ${\displaystyle n}$-dimensionale coördinatenruimte.

Een willekeurige vierkante matrix ${\displaystyle A}$ heeft een polaire ontbinding ${\displaystyle A=UP,}$ waarin ${\displaystyle U}$ een unitaire matrix is en ${\displaystyle P}$ een positief semi-definiete matrix. Als ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is, zijn ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle P}$ eenduidig bepaald. Als ${\displaystyle A}$ normaal is, dan commuteren ${\displaystyle U}$ en ${\displaystyle P.}$

Een normale operator ${\displaystyle A}$ in een complexe Hilbertruimte is een begrensde lineaire operator (transformatie van de Hilbertruimte) die commuteert met zijn toegevoegde operator.

Voor normale operatoren bestaat een spectrale calculus. Met elke meetbare complexe functie ${\displaystyle f}$ op het spectrum van de operator associeert men op natuurlijk wijze een operator ${\displaystyle f(A).}$ Met de complex toegevoegde functie ${\displaystyle {\overline {f}}}$ correspondeert de Hermitisch toegevoegde operator ${\displaystyle f(A^{*})=f(A)^{*},}$ en de vermenigvuldiging van functies gaat over in de samenstelling van operatoren.

Als de normale operator compact is, dan heeft de Hilbertruimte een orthonormale Schauderbasis die volledig bestaat uit eigenvectoren van de operator.