Positief-definiete matrix

• Een symmetrische matrix ${\displaystyle A}$ is positief-definiet als en slechts als alle eigenwaarden van ${\displaystyle A}$ strikt positief zijn.

Hieruit volgt dat de determinant van een symmetrische positief-definiete matrix strikt positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.

• Matrix ${\displaystyle A}$ is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van ${\displaystyle A}$ strikt positief is.

Als ${\displaystyle A}$ een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit ${\displaystyle A}$ wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit ${\displaystyle A}$ weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van ${\displaystyle A}$ strikt positief.

• Een positief-definiete matrix ${\displaystyle A}$ heeft een unieke decompositie ${\displaystyle A=LR}$ in een benedendriehoeksmatrix ${\displaystyle L}$ (met 1-en op de hoofddiagonaal) en een bovendriehoeksmatrix ${\displaystyle R,}$ met niet-nul-elementen op de diagonaal.

De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm ${\displaystyle A=LL',}$ waarin ${\displaystyle L}$ een benedendriehoeksmatrix is.

• Een matrix ${\displaystyle A}$ is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix ${\displaystyle Q}$ bestaat zodanig dat ${\displaystyle A=Q'Q.}$

Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:

• Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
• De som van twee positief-definiete ${\displaystyle n\times n}$-matrices is positief-definiet.
• Als ${\displaystyle A}$ positief-definiet is, dan is voor elk positief geheel getal ${\displaystyle p}$ ook ${\displaystyle A^{p}}$ positief-definiet.
• Als ${\displaystyle A}$ positief-definiet is, bestaat voor elk positief geheel getal ${\displaystyle p}$ de matrix ${\displaystyle A^{1/p}}$ (d.w.z. er bestaat een matrix ${\displaystyle B}$ zodanig dat ${\displaystyle B^{\;p}=A}$).

Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\3&10\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&-3\\-3&10\end{bmatrix}}}$

zijn beide positief-definiet. Hun product

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}-8&27\\-27&91\end{bmatrix}}}$

is echter niet positief-definiet.

• De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
• Hilbert-matrices.

Men heeft een positief semi-definitieve matrix ${\displaystyle A}$ wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door ${\displaystyle x'Ax\geq 0}$ Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.

Een matrix is negatief semi-definiet indien ${\displaystyle x'Ax\leq 0}$ voor alle niet-zero ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

• Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.

• De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van ${\displaystyle n}$ variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.

• Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.

• In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet (of positief-semidefiniet indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere).

• C.R. Johnson. "Positive Definite Matrices." The American Mathematical Monthly (1970), vol. 77 nr. 3, blz. 259-264.