Positief-definiete matrix
In de lineaire algebra wordt een reële -matrix positief-definiet genoemd, als de kwadratische vorm met een kolomvector in de -dimensionale euclidische ruimte, positief-definiet is, dus als als niet gelijk is aan de nulvector.
Meestal wordt verondersteld dat een symmetrische matrix is, maar een positief-definiete matrix hoeft niet symmetrisch te zijn:
Bijvoorbeeld: De matrix van een vlakke rotatie over een hoek 0° ⩽ < 90° is niet symmetrisch, maar wel positief definiet.
Een vierkante matrix kan altijd geschreven worden als de som van een symmetrische matrix en een antisymmetrische matrix , waarin de getransponeerde matrix van is. De matrix is dan en slechts da positief-definiet als het symmetrische deel van positief-definiet is.
Indien in de definitie "" vervangen wordt door "" spreekt men van een negatief-definiete matrix.
Bij het interpreteren van of kan het ook nuttig zijn de volgende relatie in gedachten te houden: waarbij
Kenmerken
- Een symmetrische matrix is positief-definiet als en slechts als alle eigenwaarden van strikt positief zijn.
- Hieruit volgt dat de determinant van een symmetrische positief-definiete matrix strikt positief is (de determinant is gelijk aan het product van de eigenwaarden), en dat dergelijke matrix inverteerbaar is. De inverse matrix van een positief-definiete matrix is ook positief-definiet.
- Matrix is positief-definiet als en slechts als de determinant van elke leidende hoofdminor van strikt positief is.
- Als een positief-definiete matrix is, dan is elke matrix die uit wordt verkregen door een aantal rijen en corresponderende kolommen uit weg te laten, positief-definiet. In het bijzonder zijn de diagonale elementen van strikt positief.
- Een positief-definiete matrix heeft een unieke decompositie in een benedendriehoeksmatrix (met 1-en op de hoofddiagonaal) en een bovendriehoeksmatrix met niet-nul-elementen op de diagonaal.
- De Cholesky-decompositie van een positief-definiete matrix heeft de vorm waarin een benedendriehoeksmatrix is.
- Een matrix is dan en slechts dan positief-definiet als er een inverteerbare matrix bestaat zodanig dat
Eigenschappen
Enkele andere eigenschappen van positief-definiete matrices:
- Het product van een positief-definiete matrix met een positief reëel getal is positief-definiet.
- De som van twee positief-definiete -matrices is positief-definiet.
- Als positief-definiet is, dan is voor elk positief geheel getal ook positief-definiet.
- Als positief-definiet is, bestaat voor elk positief geheel getal de matrix (d.w.z. er bestaat een matrix zodanig dat ).
Merk op dat het product van twee positief-definiete matrices niet noodzakelijk een positief-definiete matrix oplevert. Bijvoorbeeld:
zijn beide positief-definiet. Hun product
is echter niet positief-definiet.
Voorbeelden van positief-definiete matrices
- De identiteitsmatrix en elke diagonaalmatrix met strikt positieve elementen zijn positief-definiet.
- Hilbert-matrices.
Semi-definiete matrix
Men heeft een positief semi-definitieve matrix wanneer de strikt positieve eis in de definitie vervangen wordt door Deze matrices kunnen eigenwaarden hebben die nul zijn.
Een matrix is negatief semi-definiet indien voor alle niet-zero
Belang
- Als de coëfficiëntenmatrix van een stelsel van lineaire vergelijkingen positief-definiet is, heeft het stelsel een oplossing.
- De positief-definietheid van de Hessiaan van een scalaire functie van variabelen is een voldoende voorwaarde voor de strikte convexiteit van die functie.
- Positief-definiete matrices treden op in methoden van lineaire regressie, bijvoorbeeld de kleinste-kwadratenmethode.
- In de statistiek is de covariantiematrix van een aantal toevalsvariabelen positief-definiet (of positief-semidefiniet indien een van de variabelen een lineaire combinatie is van de andere).