Orthonormale basis

De vectoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} vormen een orthonormale basis van de 3D-ruimte

• ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ is een orthonormale basis van de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Heel algemeen is de standaardbasis ${\displaystyle \{(1,0,0,\ldots ,0,0),(0,1,0,0,\ldots ,0,0),\ldots ,(0,0,\ldots ,0,1)\}}$ van de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ orthonormaal.
• Ook het stelsel ${\displaystyle \{({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}),({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}},-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\}}$ is een orthonormale basis van de vectorruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Het stelsel functies ${\displaystyle \{f_{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$, met ${\displaystyle f_{n}(t)=e^{in\omega t}}$ vormt een orthonormale basis van de vectorruimte van de periodieke functies met periode ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$ en als inwendig product:

${\displaystyle (f_{n},f_{m})={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\overline {f_{n}(t)}}f_{m}(t)\mathrm {d} t}$

Deze eigenschap wordt gebruikt bij de fourieranalyse.

De Gram-Schmidtmethode geeft een directe methode om een willekeurige basis om te vormen tot een orthonormale basis.

De kolommen (en rijen) van een n-dimensionale, orthogonale transformatie vormen een orthonormale basis van vectoren voor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Elke vector van een vectorruimte met basis ${\displaystyle S}$ heeft unieke coördinaten ten opzichte van die basis. Indien de basis daarenboven orthonormaal is, kunnen die coördinaten afzonderlijk berekend worden door middel van het geldende inproduct. Men kan aantonen dat de ${\displaystyle i}$-de coördinaat van een vector ${\displaystyle u}$ ten opzichte van de orthonormale basis ${\displaystyle S=\{b_{1},b_{2},\ldots \}}$ gelijk is aan het inproduct van ${\displaystyle u}$ met de ${\displaystyle i}$-de basisvector:

${\displaystyle u=\sum _{i}(u,b_{i})\,b_{i}}$