Diagonaalmatrix

In de lineaire algebra is een diagonaalmatrix een vierkante matrix, waarvan alle elementen buiten de hoofddiagonaal (↘) gelijk aan nul zijn. De diagonale elementen kunnen al of niet gelijk zijn aan nul.

De $n\times n$ -matrix $D=(d_{i,j})$ is een diagonaalmatrix als voor alle $i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$ :

d_{i,j}=0{\mbox{ voor }}i\neq j

Diagonaalmatrices worden volledig bepaald door de waarden van de elementen op de hoofddiagonaal. Een gebruikelijke schrijfwijze is

D={\rm {diag}}(d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n})={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\ldots &0&d_{n}\end{bmatrix}}

.

De som van de elementen op de hoofddiagonaal van de diagonaalmatrix $D$ wordt het spoor van $D$ genoemd, symbool: $\operatorname {Tr} (D)$ , en is bijgevolg gedefinieerd als:

\operatorname {Tr} (D)=\sum _{i=1}^{n}d_{i}=d_{1}+d_{2}+\ldots +d_{n}

Voorbeeld

De volgende matrix is een diagonaalmatrix:

M={\begin{bmatrix}3&0&0&0\\0&1/3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1/2\\\end{bmatrix}}

.

Men noteert de diagonaalmatrix ook wel als: $M={\rm {diag}}(3,1/3,-1,1/2).$

Merk op dat de inverse en de macht van een diagonaalmatrix te bepalen zijn door de diagonaalelementen resp. tot de macht $-1$ en $n$ nemen.

De inverse van de matrix hierboven is dan:

M^{-1}={\begin{bmatrix}1/3&0&0&0\\0&3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&2\\\end{bmatrix}}

,

en de $n$ -de macht:

M^{n}={\begin{bmatrix}3^{n}&0&0&0\\0&1/3^{n}&0&0\\0&0&(-1)^{n}&0\\0&0&0&1/2^{n}\\\end{bmatrix}}

.

De determinant van een dergelijke matrix is te bepalen door alle elementen van de diagonaal met elkaar te vermenigvuldigen. De determinant van de eerder genoemde matrix is dan:

{\mbox{det}}(M)={\begin{vmatrix}3&0&0&0\\0&1/3&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1/2\\\end{vmatrix}}=3\times {\tfrac {1}{3}}\times (-1)\times {\tfrac {1}{2}}=-{\tfrac {1}{2}}

.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.