Partiële afgeleide

Een grafiek van ${\displaystyle z=x^{2}+xy+y^{2}.}$ Voor de partiële afgeleide op punt ${\displaystyle (1,1,3)}$ die ${\displaystyle y}$ constant laat, loopt de corresponderende raaklijn parallel aan het ${\displaystyle xz}$-vlak.

Een segment van de grafiek boven punt ${\displaystyle y=1}$

Stel dat ${\displaystyle f}$ een functie is van twee variabelen. Bijvoorbeeld,

${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

De grafiek van deze functie definieert een oppervlak in de euclidische ruimte. Voor elk punt op dit oppervlak zijn er een oneindig aantal raaklijnen. Partiële differentiatie is de handeling om een van deze raaklijnen te kiezen en de helling daarvan vinden. Meestal zijn de interessantste lijnen de lijnen die parallel aan het ${\displaystyle xz}$-vlak en het ${\displaystyle yz}$-vlak lopen.

Om de helling van de raaklijn aan de functie op ${\displaystyle (1,1,3)}$ te vinden, die parallel loopt aan het ${\displaystyle xz}$-vlak, wordt de variabele ${\displaystyle y}$ als een constante behandeld. De grafiek en dit vlak worden op de afbeelding aan de rechterkant getoond. Op de afbeelding daaronder ziet men hoe de functie eruitziet in het vlak ${\displaystyle y=1.}$ Door de afgeleide van de vergelijking te vinden, onder de veronderstelling dat ${\displaystyle y}$ constant is, vindt men dat de helling van ${\displaystyle f}$ in het punt ${\displaystyle (x,y,z)}$ gelijk is aan:

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y}$

Door substitutie in punt ${\displaystyle (1,1,3)}$ vindt men dat de helling in dit punt gelijk is aan 3.

${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$

Dat wil zeggen dat de partiële afgeleide van ${\displaystyle z}$ met betrekking tot ${\displaystyle x}$ in het punt ${\displaystyle (1,1,3)}$ gelijk is aan 3.

De precieze definitie van een partiële afgeleide van de functie ${\displaystyle f}$ naar de variabele ${\displaystyle x_{i}}$ is als volgt:

Als ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ een functie is van de variabelen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ dan geldt:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i}+h,x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h}}}$

Hierin staat lim voor de limiet.

De richtingsafgeleide generaliseert dit begrip naar een willekeurige, maar vaste richting.

De partiële afgeleiden, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ en ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ van de functie ${\displaystyle z=f(x,y)}$ zijn vaak zelf functies van ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y.}$ We zouden deze functies nogmaals partieel kunnen differentiëren naar ${\displaystyle x}$ en/of ${\displaystyle y.}$ Hierdoor ontstaan 4 partiële afgeleiden van de 2de orde:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}}$

Volgens de stelling van Schwarz zijn de laatste twee termen gelijk aan elkaar indien ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial y}}}$ en ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}$ bestaan en continu zijn. In dat geval geldt dus

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}}$

• Hessiaan
• Jacobi-matrix