Eisenstein-reeks

Het reële deel van ${\displaystyle G_{6}}$ als een functie van ${\displaystyle q}$ op de eenheidsschijf.

Het imaginaire deel van ${\displaystyle G_{6}}$ als een functie van ${\displaystyle q}$ op de eenheidsschijf.

Laat ${\displaystyle \tau }$ een complex getal zijn met een strikt positief imaginair deel. Definieer de holomorfe Eisensteinreeks ${\displaystyle G_{2k}(\tau )}$ met gewicht ${\displaystyle 2k}$, waar ${\displaystyle k\geq 2}$ een geheel getal is, door de volgende reeks:

${\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}}$

Deze reeks convergeert absoluut naar een holomorfe functie van ${\displaystyle \tau }$ in het bovenhalfvlak en zijn Fourieruitbreiding die hieronder wordt gegeven, laat zien dat hij voortgezet kan worden naar een holomorfe functie op ${\displaystyle \tau =i\infty }$. Het is een opmerkelijk feit dat de Eisensteinreeks een modulaire vorm is. Sterker nog, de belangrijkste eigenschap van de Eisensteinreeks is zijn ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$-invariantie.

Expliciet als ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ en ${\displaystyle ad-bc=1}$ dan geldt

${\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )}$

en ${\displaystyle G_{2}}$ is daarom een modulaire vorm van gewicht ${\displaystyle 2k}$. Merk op dat het belangrijk is om te veronderstellen dat ${\displaystyle k\geq 2}$, anders zou het niet zijn toegestaan om de sommatievolgorde te veranderen, en zou de ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$-invariantie niet behouden blijven. In feite zijn er geen niet-triviale modulaire vormen met gewicht 2. Niettemin kan een analogon van de holomorfe Eisensteinreeks, zelfs voor ${\displaystyle k=1}$, worden gedefinieerd, ook al zou dit slechts een bijna modulaire vorm zijn.